大一下高等数学期末试卷

篇一：高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

（2010至2011学年第一学期）

课程名称： 高等数学(上)(A卷)

考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日共 6 页

注意事项：

1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否

则视为废卷。

3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷

分别一同交回，否则不给分。

试 题

一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）

1. lim

sin(x2?1)

x?1x?1

?() (A) 1； (B) 0；(C)2； (D)

1

2

2.若f(x)的一个原函数为F(x)，则?

e?xf(e?x

)dx为( )

(A) F(ex)?c； (B) ?F(e

?x

)?c；

(C) F(e?x

)?c； (D )

F(e?x )

x

?c 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)

?

??

1??

??

sinxdx； (B)?

1

； ?x?1x

(C) ??1?x2； (D)?0x

??edx。 4. f(x)为定义在?a,b?上的函数，则下列结论错误的是( )

(A) f(x)可导，则f(x)一定连续；(B) f(x)可微，则f(x)不一定

1

可导；

(C) f(x)可积（常义），则f(x)一定有界；(D) 函数f(x)连续，则5. 设函数f(x)?lim

?

x

a

f(t)dt在?a,b?上一定可导。

1?x

，则下列结论正确的为( )

n??1?x2n

(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点x?1； (C) 存在间断点x?0； (D) 存在间断点x??1

二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）

x2?1?1

1. 极限lim? _____.

x?0x

?x?1?t2

2. 曲线?在t?2处的切线方程为______. 3

?y?t

2x

3. 已知方程y???5y??6y?xe的一个特解为?

12

(x?2x)e2x，则该方程的通解2

为 .

f(x)

?2，则f?(2)?_____

x?2x?2

5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F（牛顿）与伸长量s成正比，即F?ks（k为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm时，所作的功为_________焦耳。

4. 设f(x)在x?2处连续，且lim

2

6．曲线y?x2上相应于x从3到8的一段弧长为3

2

3

2

三、设x?0时，ex?(ax2?bx?c)是比x高阶的无穷小，求常数a,b,c的值（6分）

2

x?e?xcos(3?2x),求dy.（6分）

xy?ey

?e确定,求

d2y

dx2

.（8分）

x?0

x)满足关系式f(x)?

?

3x

f(t

3

)dt?3x?3，求f(x).(83

七、 求下列各不定积分（每题6分，共12分） （1） ?(1?sin

3

?)d?.

（2） ?xarctan

xdx.

?x?1,x?1八、设f(x)??

?1?2 ?2

x,x?1

求定积分

?

2

f(x)dx.（6分）4

13

九、讨论函数f(x)?x?3x的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（10分）

十、求方程

dyy

dx?x?y

4

的通解（6分）5

篇二：大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)

大一上学期高数期末考试

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有(

　).

（A）f?(0)?2（B）f?(0)?1（C）f?(0)?0 （D）f(x)不可导.

2. 设?(x)?1?x

1?x，?(x)?3?33x，则当x?1时（　　）

.

（A）?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）?(x)与?(x)是等价无穷小；

（C）?(x)是比?(x)高阶的无穷小；（D）?(x)是比?(x)高阶的无穷小.

3. 若

F(x)??x

(2t?x)f(t)dt

，其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且

f?(x)?0，则（ ）.

（A）函数F(x)必在x?0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x?0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x?0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点；（D）函数F(x)在x?0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。1

4.

设f(x)是连续函数，且 f(x)?x?2?0

f(t)dt , 则f(x)?(

x2x2

（A）2（B）2?2

（C）x?1 （D）x?2.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 2

5. lim(sinx

x?0

1?3x)

?

.

6. 已知

cosx

x

是f(x)的一个原函数,则?f(x)?

cosx

x

dx?7.

nlim

?

??n

(cos2

?

n

?cos2

2?n???cos2n?1

n?)?.

12

2?

xarcsinx?1

－

11?x

2

dx?

8. 2

.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 设函数y?y(x)由方程

ex?y

?sin(xy)?1确定，求y?(x)以及y?(0). 1?x7

求10. ?x(1?x7

)dx.

)

?x

? 1?xe，　　x?0

设f(x)??　求?f(x)dx．

?32

??2x?x，0?x?111.

1

012. 设函数f(x)连续，，且x?0

g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.

g(x)??f(xt)dt

lim

f(x)

?Ax，A为常数. 求

13. 求微分方程xy??2y?xlnx满足

y(1)??

1

9的解.

四、 解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线y?y(x)(x?0)，过点(0,1)，且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x 轴围

成平面图形D.

(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设函数f(x)在?0,1?上连续且单调递减，证明对任意的q?[0,1]，

q

1

?f(x)dx?q?f(x)dx

.

?

?

?17. 设函数f(x)在?0,??上连续，且

f(x)dx?0

?，

f(x)cosxdx?0

.

证明：在?0,??内至少存在两个不同的点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0.（提

x

F(x)?

示：设

?f(x)dx

）

解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

??1cosx2

()?c

e635. . 6.2x.7.2.8..

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

x?y

??)coxys(xy)(y? ) e(1?y??

ex?y?ycos(xy)

y?(x)??x?y

e?xcos(xy)

x?0,y?0，y?(0)??1

7

7x6dx?du 10. 解：u?x　　

1(1?u)112

原式????(?)du

7u(1?u)7uu?1 1

?(ln|u|?2ln|u?1|)?c7 12

?ln|x7|?ln|1?x7|?C77

11.

解：??3

1

f(x)dx??xedx??

?3

?x

??xd(?e?x)??

?3

0?2

?x?x2??(令x?1?sin?)??xe?e???3???cos?d?　

4

12. 解：由f(0)?0，知g(0)?0。

x

1

xt?u

?

?

?2e3?1

g(x)??f(xt)dt?

x

?f(u)du

x

(x?0)

g?(x)?

xf(x)??f(u)du

x

x0

2

(x?0)

g?(0)?lim

x?0

?f(u)du

x2

?lim

x?0x

f(x)A

? 2x2

?A?

AA

?

22，g?(x)在x?0处连续。

limg?(x)?lim

x?0

x?0

xf(x)??f(u)du

x

02

dy2

?y?lnx

13. 解：dxx

dxdx

y?e?x(?e?xlnxdx?C)

?2

2

11

xlnx?x?Cx?2

9 3

111

y(1)??C,?0y?xlnx?x

39 9 ，

四、 解答题（本大题10分）

?

14. 解：由已知且 ，

将此方程关于x求导得y???2y?y?

2

特征方程：r?r?2?0

y??2?ydx?y

x

解出特征根：r1??1,r2?2.

其通解为

y?C1e?x?C2e2x

代入初始条件y(0)?y?(0)?1，得

21y?e?x?e2x

33故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

C1?

21,C2?33

1

y?lnx0?(x?x0)

x0

15. 解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：

1y?x

e 由于切线过原点，解出x0?e，从而切线方程为：

1

则平面图形面积

A??(ey?ey)dy?

1

e?12

V1?

1

?e23

（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线y?lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

1

V2???(e?ey)2dy

6D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

q

1

q

q

V?V1?V2?

?

(5e2?12e?3)

1

16. 证明：0

q

?f(x)dx?q?f(x)dx??f(x)dx?q(?f(x)dx??f(x)dx)

q

1q

?(1?q)?f(x)dx?q?f(x)dx

f(?1)?f(?2)

?1?[0,q]?2?[q,1]

?

q(1?q)f(?1)?q(1?q)f(?2)

1

?

故有：

q

?f(x)dx?q?f(x)dx

证毕。

x

17.

F(x)??f(t)dt,0?x??

0证：构造辅助函数：。其满足在[0,?]上连续，在(0,?)

上可导。F?(x)?f(x)，且F(0)?F(?)?0

由题设，有

?

0??f(x)cosxdx??cosxdF(x)?F(x)cosx|??sinx?F(x)dx

??

?

?

，

F(x)sinxdx?0?有，由积分中值定理，存在??(0,?)，使F(?)sin??0即

F(?)?0

综上可知F(0)?F(?)?F(?)?0,??(0,?).在区间[0,?],[?,?]上分别应用罗尔定理，知存在

?1?(0,?)和?2?(?,?)，使F?(?1)?0及F?(?2)?0，即f(?1)?f(?2)?0.

篇三：大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案 (1)

第一学期期末高等数学试卷

一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计80分)

1、(本小题5分)

2、(本小题5分) x3?12x?16求极限　lim3x?22x?9x2?12x?4

xdx.(1?x2)2

1

x 求?3、(本小题5分) x??求极限limarctanx?arcsin

4、(本小题5分)

求?

5、(本小题5分) xdx.1?x

d求dx?x2

0?t2dt． 6、(本小题5分)

7、(本小题5分) 求?cot6x?csc4xdx.

求2

?1

?

8、(本小题5分) 11cosdx．xx2

9、(本小题5分)

3

0t2?dy?x?ecost设?确定了函数y?y(x),求．2tdx??y?esint 求?x?xdx．

10、(本小题5分)

求函数　y?4?2x?x2的单调区间

11、(本小题5分)

dy．dx sinxdx．28?sinx 12、(本小题5分) 求?13、(本小题5分) ?20设　x(t)?e?kt(3cos?t?4sin?t)，求dx． 设函数y?y(x)由方程y2?lny2?x6所确定,求14、(本小题5分)

15、(本小题5分) 求函数y?2ex?e?x的极值

16、(本小题5分) (x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2???(10x?1)2求极限limx??(10x?1)(11x?1)

求?

cos2xdx.1?sinxcosx 第1页，共9页

二、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分)

1、(本小题7分)

2、(本小题7分) 某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.

x2x3

求由曲线y?和y?所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28 三、解答下列各题

( 本 大 题6分 )

设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3),证明f?(x)?0有且仅有三个实根.

一学期期末高数考试(答案)

一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计77分)

1、(本小题3分)

2、(本小题3分) 3x2?12解:原式?lim2x?26x?18x?12 6x　　　?limx?212x?18 　　　?2

3、(本小题3分) x?(1?x2)2dx 21d(1?x)?2?(1?x2)2 11???c.221?x

因为arctanx??2而limarcsinx??1?0x

故limarctanx?arcsinx??

4、(本小题3分) 1?0x

5、(本小题3分)

x?1?xdx 1?x?1???dx1?x dx???dx??1?x ??x?ln1?x?c.

第2页，共9页

d求dx?x2

0?t2dt．

6、(本小题4分) 原式?2x?x4

264cotx?cscxdx?6???cotx(1?cotx)d(cotx)

7、(本小题4分) 11??cot7x?cot9x?c.79

求2?1

?11codx．xx2

211?原式??1cosd()xx ?

??1 8、(本小题4分) 1??six2??1

?x?etcost2dy?设?确定了函数y?y(x),求．2tdx??y?esint

9、(本小题4分)

3

0dye2t(2sint?cost)解：　　?tdxe(cost2?2tsint2) et(2sint?cost)　　　　　?(cost2?2tsint2) 求?x?xdx．

令　?x?u

原式?2?(u4?u2)du12

10、(本小题5分) uu2?)153 116?15 ?2(53

求函数　y?4?2x?x2的单调区间

(??,??) 解：函数定义域

y??2?2x?2(1?x)

当x?1，y??0 ???,1?当x?1，　y??0函数单调增区间为

11、(本小题5分)

?1,??? 当x?1，y??0函数的单调减区间为求??

2

0sinxdx．28?sinx

?

0原式???2

dcosx9?cos2x 第3页，共9页

12、(本小题6分) 13?cosx2??ln63?cosx0 1?ln2 6 ?

设　x(t)?e?kt(3cos?t?4sin?t)，求dx．

解：dx?x?(t)dt

13、(本小题6分) 　?e?kt?(4??3k)cos?t?(4k?3?)sin?t?dt

设函数y?y(x)由方程y2?lny2?x6所确定,求dy．dx

2yy??2y??6x5

y

14、(本小题6分) 3yx5y??2y?1

求函数y?2ex?e?x的极值

解：定义域(??，??),且连续

1y??2e?x(e2x?)2

11驻点：x?ln22

由于y???2ex?e?x?0

故函数有极小值,,y(

15、(本小题8分) 11ln)?2222

16、(本小题10分) (x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2???(10x?1)2求极限limx??(10x?1)(11x?1) 1111(1?)2?(2?)2?(3?)2???(10?)2原式?limx??11(10?)(11?)xx 10?11?21?6?10?117? 2

cos2xcos2xdx??1?sinxcosx11?sin2x

d(sin2x?1)??1?sin2x2

1?ln1?sin2x?c2 解:?

第4页，共9页

二、解答下列各题

(本大题共2小题，总计13分)

1、(本小题5分)

某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省. 设晒谷场宽为x,则长为

L?2x?512米,新砌石条围沿的总长为x

2、(本小题8分) 512　　(x?0)x 512L??2?2　　　唯一驻点　x?16x 1024L???3?0　　　即x?16为极小值点x 512故晒谷场宽为16米,长为?32米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省

x2x3求由曲线y?和y?所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28

x2x3

解:　?,8x2?2x3　x1?0,x1?4.28

244?x4xx3

2?x6

2Vx????()?()?dx???(?)dx008?464 ?2

三、解答下列各题

( 本 大 题10分 ) 1111??(?x5??x7)456470 11512??44(?)??57354

设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3),证明f?(x)?0有且仅有三个实根.

证明:f(x)在(??,??)连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.

又f(0)?f(1)?f(2)?f(3)?0

则分别在[01,],[12,],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在

?1?(01,),?2?(12,),?3?(2,3)使f?(?1)?f?(?2)?f?(?3)?0

,它至多有三个实根, 即f?(x)?0至少有三个实根,又f?(x)?0,是三次方程

由上述f?(x)有且仅有三个实根

高等数学（上）试题及答案

一、 填空题（每小题3分，本题共15分）

2

x1、lim(1?3x)x?0?______.。

第5页，共9页

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