高中数学概率与统计问题的题型与方法
篇一：高中数学概率与统计问题的题型与方法
第7讲概率与统计问题的题型与方法
（4课时）
一、考试内容
离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值和平方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，总体特征数的估计，线性回归。
二、考试要求
⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。
⑵了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
⑶会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。 ⑷会用样本频率分布去估计总体分布。
⑸了解正态分布的意义及主要性质。
⑹了解假设检验的基本思想。
⑺会根据样本的特征数估计总体。
⑻了解线性回归的方法。
三、复习目标
1． 了解典型分布列：0～1分布，二项分布，几何分布。
2． 了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
3． 在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。
4． 了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。
5． 了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体N(?,?)转化为标准正态总体N（0，
1）的公式F(x)??(2x??
?)及其应用。
6． 通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想。
7． 了解相关关系、回归分析、散点图等概念，会求回归直线方程。
8． 了解相关系数的计算公式及其意义，会用相关系数公式进行计算。
9． 了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验。
四、双基透视
㈠随机事件和统计的知识结构：
㈡随机事件和统计的内容提要
1．主要内容是离散型随机变量的分布列、期望与方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布和线性回归。
2．随机变量的概率分布
（1）离散型随机变量的分布列：
两条基本性质①pi?0(i?1,2,?)；
②P1+P2+?=1。 （2）连续型随机变量概率分布： 由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(x)； 总体分布密度函数的两条基本性质： ①f(x) ≥0(x∈R)； ②由曲线y=f(x)与x轴围成面积为1。 3．随机变量的数学期望和方差 （1）离散型随机变量的数学期望： E??x1p1?x2p2??；反映随机变量取值的平均水平。
（2）离散型随机变量的方差：
2 D??(x1?E?)2p1?(x2?E?)2p2???(xn?E?)pn??；反映随机变量取值的
稳定与波动，集中与离散的程度。
（3）基本性质：E(a??b)?aE??b；D(a??b)?aD?。 4．三种抽样方法。 5．二项分布和正态分布 （1）记ε是n次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B（n，p）； 2
kkn?k 其概率Pn(k)?Cnpq(q?1?p,k?0,1,2,?,n)。
期望Eε=np，方差Dε=npq。
（2）正态分布密度函数：
f(x)?1
2??e?(x??)2
2?
期望Eε=μ，方差D???2。
（3）标准正态分布：
若?~N(?,?)，则??
P(??b)??(2???~N(0,1)， ?
a??b???)，P(a???b)??(b??
?)??(?)。
6．线性回归：
当变量x取值一定时，如果相应的变量y的取值带有一定的随机性，那么就说变量y与x具有相关关系。对于它们的一组观测值来说，如果与之相应的在平面直角坐标系中的点大体上集中在一条直线的附近，就说变量y与x之间具有线性相关关系。
相关系数用来检验线性相关显著水平，通常通过查表取显著水平0.05自由度n-2的r0.05，若r?r0.05为显著；否则为不显著。
㈢离散型随机变量的分布列
随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。随机变量最常见的两种类型，即离散型随机变量和连续型随机变量。如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。
离散型随机变量的分布列：如果离散型随机变量?的可能取值为xi（i＝1，2，?），由于试验的各个结果的出现有一定的概率，于是随机变量?取每一个值也有一定的概率P（?＝xi）＝pi
分布列的表达式可有如下几种：（1）表格形式；（2）一组等式；（3）压缩为一个带“i”的等式。
1．在实际问题中，人们常关心随机变量的特征，而不是随机变量的具体值。离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的特征数，期望反映了随机变量的平均取值，方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。其中标准差与随机变量本身有相同的单位。
2．离散型随机变量期望和方差的计算公式
设离散型随机变量?的分布列为P（?＝xi）＝pi，i＝1，2，?，则：
E?＝?x
i?1?i pi，D?＝?(xi－E?) pi＝?xi2 pi－(E?)2＝E(?2)－(E?)2。 2i?1i?1??
3．离散型随机变量期望和方差的性质
E (a?＋b)＝aE?＋b，D (a?＋b)＝a2 D?。
4．二项分布的期望与方差
若?～B (n，p)，则E?＝np，D?＝np (1－p)。
㈣抽样方法
三种常用抽样方法：
1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样
本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。
2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。
系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段；（3）确定起始的个体编号；（4）抽取样本。
3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。
㈤总体分布的估计
总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布。
总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线。
㈥正态分布
正态分布：如果总体密度曲线是以下函数的图象：
f(x)?1
2??e?(x??)2
2?，x?(??,??) ①
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容
2量的抽象总体。其分布叫做正态分布，常记作N(μ，σ)。①的图象被称为正态曲线。
特别地，在函数①中，当μ=0，σ=1时，正态总体称为标准正态总体，这时，相应的函数 表达式是f(x)?1
2?e?x2
2，x?(??,??)， ②
相应的曲线称为标准正态曲线。
当我们不知道一个总体的分布时，往往总是从总体中抽取一个样本，并用样本的频率分布去估计总体的分布，而且随着样本容量越大分组的组距越小，样本的频率分布就更加接近总体分布。当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，频率分布直方图就会演变成一条光滑曲线，即反映总体分布的总体密度曲线。可以知道，反映总体分布的总体密度曲线的形状是形形色色的，不同形状的总体密度曲线是不同总体分布的反映，而正态分布以及反映这种分布的正态曲线是异彩纷呈的总体分布及总体密度曲线中的一类重要分布。
1．正态分布的重要性
正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。例如，产品尺寸是一类典型的总体，对于成批生产的产品，如果生产条件正常并稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素，那么，产品尺寸的总体分布就服从正态分布。又如测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的量：身高、体重等；农作物的收获量等等，都服从或近似服从正态分布。另一方面，正态分布具有许多良好的性质，很多分布可以用正态分布来近似描述，另外，一些分布又可以通过正态分布来导出，因此在理论研究中正态分布也十分重要。
2．正态曲线及其性质
对于正态分布函数：
f(x)?1
2??e?(x??)2
2?，x∈（-∞，+∞）
由于中学知识范围的限制，不必去深究它的来龙去脉，但对其函数图像即正态曲线可通过描点（或计算机中的绘图工具）画出课本图1-4中的图（1）、（2）、（3），由此，我们不难自己总结出正态曲线的性质。
3．标准正态曲线
标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，它是本小节的重点。由于它具有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”。对于抽像函数??(x0)?p(x?x0)，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N（0，1）、x轴、直线x?x0所围成的图形的面积。再由N（0，1）的曲线关于y轴对称，可以得出等式??(x0)?1??(x0)，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率P??(b)??(a)。
4．一般正态分布与标准正态分布的转化
由于一般的正态总体N(?,?)其图像不一定关于y轴对称，所以，研究其在某个区间2
(x1,x2)的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算。这时我们自然会思考：能否将一般的正态总体N(?,?)转化成标准的正态总体N（0，1）进行研究。人们经过探究发现：对于任一正态总体N(?,?)，其取值小于x的概率F(x)??(22x??
?)。对于这个公式，课本中不加证明地给出，只用了“事实上，可以证明”这几个字说明。这表明，对等式F(x)??(x??
?2只要会用它求正态总体N(?,?)在某个特定区间的概)的来由不作要求，
率即可。
5．“小概率事件”和假设检验的基本思想
“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，因为对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验20次，才能发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。就是说，这里在概率的意义上所作的推理与过去确定性数学中的“若a则b”式的推理有所不同。
课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。进行假设检验一般分三步：
第一步，提出统计假设。课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布N(?,?)。
第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）。
第三步，作出推断。如果a∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果a?(??3?,??3?)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。
上面这种拒绝统计假设的推理，与我们过去学习过的反证法有类似之处。事实上，用反证法证明一个问题时，先否定待证命题的结论，这本身看成一个新的命题，从它出发进行推理，如果出现了矛盾，就把这个矛盾归因于前述新命题不正确，从而将它否定。否定
2
篇二：概率与统计问题的题型与方法
概率与统计问题的题型与方法
一．复习目标：
1． 了解典型分布列：0～1分布，二项分布，几何分布。
2． 了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、
方差。
3． 在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似
事件的稳定程度。
4． 了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。
5． 了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体N(?,?2)转化为标准正态总体N（0，1）
的公式F(x)??(
x??
?
)及其应用。
6． 通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想。
7． 了解相关关系、回归分析、散点图等概念，会求回归直线方程。 8． 了解相关系数的计算公式及其意义，会用相关系数公式进行计算。 了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验。
二．考试要求：
⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。 ⑵了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
⑶会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。 ⑷会用样本频率分布去估计总体分布。 ⑸了解正态分布的意义及主要性质。 ⑹了解假设检验的基本思想。 ⑺会根据样本的特征数估计总体。 ⑻了解线性回归的方法。
三．教学过程：
（Ⅰ）基础知识详析
㈠随机事件和统计的知识结构：
㈡随机事件和统计的内容提要
1．主要内容是离散型随机变量的分布列、期望与方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布和线性回归。
2．随机变量的概率分布
（1）离散型随机变量的分布列：
两条基本性质①pi?0(i?1,2,?)；
②P1+P2+?=1。
（2）连续型随机变量概率分布：
由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(x)； 总体分布密度函数的两条基本性质： ①f(x) ≥0(x∈R)；
②由曲线y=f(x)与x轴围成面积为1。 3．随机变量的数学期望和方差 （1）离散型随机变量的数学期望：
E??x1p1?x2p2??；反映随机变量取值的平均水平。 （2）离散型随机变量的方差：
D??(x1?E?)2p1?(x2?E?)2p2???(xn?E?)pn??；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。
（3）基本性质：E(a??b)?aE??b；D(a??b)?a2D?。 4．三种抽样方法。 5．二项分布和正态分布
（1）记ε是n次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B（n，p）；
kkn?k
其概率Pn(k)?Cnpq(q?1?p,k?0,1,2,?,n)。 期望Eε=np，方差Dε=npq。 （2）正态分布密度函数： f(x)?
2
12??
e
?
(x??)22?2
2
期望Eε=μ，方差D???。 （3）标准正态分布：
2
若?~N(?,?)，则??
???
~N(0,1)， ?
P(??b)??(
b??
?
)，
P(a???b)??(
b??
?
)??(
a??
?
)。
6．线性回归：
当变量x取值一定时，如果相应的变量y的取值带有一定的随机性，那么就说变量y与x具有相关关系。对于它们的一组观测值来说，如果与之相应的在平面直角坐标系中的点大体上集中在一条直线的附近，就说变量y与x之间具有线性相关关系。 相关系数用来检验线性相关显著水平，通常通过查表取显著水平0.05自由度n-2的r0.05，若
r?r0.05为显著；否则为不显著。
㈢离散型随机变量的分布列
随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。随机变量最常见的两种类型，即离散型随机变量和连续型随机变量。如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。
离散型随机变量的分布列：如果离散型随机变量?的可能取值为xi（i＝1，2，?），由于试验的各个结果的出现有一定的概率，于是随机变量?取每一个值也有一定的概率P（?＝xi）＝pi
分布列的表达式可有如下几种：（1）表格形式；（2）一组等式；（3）压缩为一个带“i”的等式。
1．在实际问题中，人们常关心随机变量的特征，而不是随机变量的具体值。离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的特征数，期望反映了随机变量的平均取值，方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。其中标准差与随机变量本身有相同的单位。
2．离散型随机变量期望和方差的计算公式
设离散型随机变量?的分布列为P（?＝xi）＝pi，i＝1，2，?，则：
E?＝
?x
i?1
?
i pi，D
?＝?(xi－E?) pi＝?xi2 pi－(E?)2＝E(?2)－(E?)2。
2
??
i?1i?1
3．离散型随机变量期望和方差的性质
E (a?＋b)＝aE?＋b，D (a?＋b)＝a2 D?。 4．二项分布的期望与方差
若?～B (n，p)，则E?＝np，D?＝np (1－p)。
㈣抽样方法
三种常用抽样方法：
1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。
2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。
系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段；（3）确定起始的个体编号；（4）抽取样本。
3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。
㈤总体分布的估计
总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布。
总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限
接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线。
㈥正态分布
正态分布：如果总体密度曲线是以下函数的图象：
f(x)?
12??
e
?
(x??)22?2
，x?(??,??) ①
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容量的抽
2
象总体。其分布叫做正态分布，常记作N(μ，σ)。①的图象被称为正态曲线。
特别地，在函数①中，当μ=0，σ=1时，正态总体称为标准正态总体，这时，相应的函数 表达式是f(x)?
12?
e
?
x22
，x?(??,??)， ②
相应的曲线称为标准正态曲线。
当我们不知道一个总体的分布时，往往总是从总体中抽取一个样本，并用样本的频率分布去估计总体的分布，而且随着样本容量越大分组的组距越小，样本的频率分布就更加接近总体分布。当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，频率分布直方图就会演变成一条光滑曲线，即反映总体分布的总体密度曲线。可以知道，反映总体分布的总体密度曲线的形状是形形色色的，不同形状的总体密度曲线是不同总体分布的反映，而正态分布以及反映这种分布的正态曲线是异彩纷呈的总体分布及总体密度曲线中的一类重要分布。 1．正态分布的重要性
正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。例如，产品尺寸是一类典型的总体，对于成批生产的产品，如果生产条件正常并稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素，那么，产品尺寸的总体分布就服从正态分布。又如测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的量：身高、体重等；农作物的收获量等等，都服从或近似服从正态分布。另一方面，正态分布具有许多良好的性质，很多分布可以用正态分布来近似描述，另外，一些分布又可以通过正态分布来导出，因此在理论研究中正态分布也十分重要。
2．正态曲线及其性质 对于正态分布函数： f(x)?
12??
e
?
(x??)22?2
，x∈（-∞，+∞）
由于中学知识范围的限制，不必去深究它的来龙去脉，但对其函数图像即正态曲线可通过描点（或计算机中的绘图工具）画出课本图1-4中的图（1）、（2）、（3），由此，我们不难自己总结出正态曲线的性质。 3．标准正态曲线
标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，它是本小节的重点。由于它具有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”。对于抽像函数??(x0)?p(x?x0)，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N（0，1）、x轴、直线x?x0所围成的图形的面积。再由N（0，1）的曲线关于y轴对称，可以得出等式??(x0)?1??(x0)，
以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率P??(b)??(a)。 4．一般正态分布与标准正态分布的转化
由于一般的正态总体N(?,?2)其图像不一定关于y轴对称，所以，研究其在某个区间
(x1,x2)的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算。这时我们自然会思考：能否将一般的正
态总体N(?,?2)转化成标准的正态总体N（0，1）进行研究。人们经过探究发现：对于任一正态总体N(?,?2)，其取值小于x的概率F(x)??(
x??
?
)。对于这个公式，课本中不加证明地
x??
给出，只用了“事实上，可以证明”这几个字说明。这表明，对等式F(x)??(
?
)的来由
不作要求，只要会用它求正态总体N(?,?2)在某个特定区间的概率即可。 5．“小概率事件”和假设检验的基本思想
“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，因为对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验20次，才能发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。就是说，这里在概率的意义上所作的推理与过去确定性数学中的“若a则b”式的推理有所不同。 课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。进行假设检验一般分三步：
第一步，提出统计假设。课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布
N(?,?2)。
第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）。第三步，作出推断。如果a∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果a?(??3?,??3?)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。
上面这种拒绝统计假设的推理，与我们过去学习过的反证法有类似之处。事实上，用反证法证明一个问题时，先否定待证命题的结论，这本身看成一个新的命题，从它出发进行推理，如果出现了矛盾，就把这个矛盾归因于前述新命题不正确，从而将它否定。否定了新命题，也就等于证明了原命题的结论。
㈦线性回归
回归分析：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系。
回归直线方程：设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分
??a?bx。其中 布在某一条直线的附近，就可以认为y对x的回归函数的类型为直线型：y
b?
?(x
i?1
n
n
i
?x)(yi?y)
?
i
?xy
ii?1
n
n
i
?nxy?nx
2
，a?y?bx。我们称这个方程为y对x的回归
?(x
i?1
?x)2
?x
i?1
2i
篇三：高中数学概率与统计测试题
概率与统计
1.如果一个整数为偶数的概率为0.6，且a,b,c均为整数，求 (1)a+b为偶数的概率； (2)a+b+c为偶数的概率。
2.从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为
34
，每位男同学能通过测验的概率均为，求
55
(1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率。
3.袋中有6个白球，4个红球，甲首先从中取出3个球，乙再从余下的7个球中取出4个球，凡取得红球多者获胜。试求 (1)甲获胜的概率； (2)甲，乙成平局的概率。
4.箱子中放着3个1元硬币，3个5角硬币，4个1角硬币，从中任取3个，求总钱数超过1元8角的概率。
5.有10张卡片，其号码分别位1，2，3?，10，从中任取3张。 (1)求恰有1张的号码为3的倍数的概率；
(2)记号码为3的倍数的卡片张数为ξ，求ξ的数学期望。
6.某种电子玩具按下按钮后，会出现白球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是
1
，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下次出现红球、绿球的概率2
分别为,
1232
；若前次出现绿球，则下次出现红球、绿球的概率分别为,，记第n(n∈3355
N,n≥1)次按下后，出现红球的概率为Pn (1)求P2的值；
(2)当n∈N,n≥2时，求用Pn?1表示Pn的表达式； (3)求Pn关于n的表达式。
7.有甲、乙两个盒子,甲盒子中有8张卡片,其中两张写有数字0,三张写有数字1，三张写有
数字2；乙盒子中有8张卡片，其中三张写有数字0，两张写有数字1，三张写有数字2， (1)如果从甲盒子中取两张卡片，从乙盒子中取一张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？
(2)如果从甲、乙盒子中各取一张卡片，设取出的两张卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列和期望。
8. 甲、乙两位同学做摸球游戏，游戏规则规定：两人轮流从一个放有1个白球，3个黑球，2个红球且只有颜色不同的6个小球的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一个人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者，现甲先取 (1)求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率； (2)求甲获胜的概率。
9.设有均由A,B,C三个部件构成的两种型号产品甲和乙，当A或B是合格品并且C是合格品时，甲是正品；当A，B都是合格品或者C是合格品时，乙是正品。若A、B、C合格的概率均是P，这里A，B，C合格性是互相独立的。 (1)产品甲为正品的概率P1是多少？ (2)产品乙为正品的概率P2是多少？ (3)试比较P1与P2的大小。
10.一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。 (1)求前二次取出的都是二等品的概率； (2)求第二次取出的是二等品的概率；
(3)用随机变量ξ表示第二个二等品被取出时共取的件数，求ξ的分布列及数学期望。 11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为
1
。现有甲，乙两人从7
袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，?，取后不放回，直到两人中一人取到白球时即终止，每个球在第1次被取出的机会是等可能的， (1)求袋中原有白球的个数； (2)求甲取到白球的概率。
12.箱内有大小相同的20个红球，80个黑球，从中任意取出1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出1个，记录它的颜色后又放回箱内搅拌，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题
(1)求事件：“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率； (2)求事件：“三次中恰有一次取出红球”的概率；
(3)如果有50人进行这样的抽取，试推测约有多少人取出2个黑球，1个红球。 13.甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜并且比赛就此结束，现已知甲，乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率是0.6，乙队获胜的概率是0.4，且每局比赛的胜负是相互独立的，问 (1)甲队以3：2获胜的概率是多少？ (2)乙队获胜的概率是多少？
14.某射手进行射击练习，每次射出一发子弹，每射击5发算一组，一旦命中就停止，并进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，已知他每射击一次的命中率为0.8，且每次射击命中与否互不影响。
(1)求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率； (2)求一组练习中所耗用子弹数ξ的分布列，并求ξ的期望。
15.袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取出4个球。 (1)求取出的红球数ξ的概率分布列和数学期望；
(2)若取出每个红球得2分，取出黑球得1分，求得分不超过5分的概率。
16.下表为某班英语及数学成绩的分布，学生共有50人，成绩分1至5五个档次。例如表中所示英语成绩为4分，数学成绩为2分的学生为5人，将全班学生的姓名卡片混合在一起，任取一张，该卡片同学的英语成绩为x，数学成绩为y,设x,y为随机变量(注：没有相同姓名的学生)
(1)分别求出x=1的概率及x≥3且y＝3的概率；
(2)求a+b的值； (3)若y的期望值为
概率与统计解答
1解:整数为奇数的概率为1－0.6＝0.4
(1)当a,b都为偶数或都为奇数时，a+b为偶数，记a+b为偶数的概率为P(a+b)则 P(a+b)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52
(2)由(1)可知，a+b为奇数的概率为0.48，a+b+c为偶数的条件是a+b与c均为偶数，或者a+b与c均为奇数，记a+b+c为偶数的概率为P(a+b+c)，则 P(a+b+c)＝0.52×0.6＋0.48×0.4＝0.504
3C65
2解: (1)随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1?3?
C106
1C8434
(2)甲、乙被选出且能通过测验的概率为3???
C1055125
3C41
3解:(1)甲获胜是指以下三种情况①甲取3个红球，必获胜，概率为3?
C103021134C4C6(C2C5?C5)3
②甲取2个红球,乙取1红3白或乙取4白,则甲获胜,概率为? 34
14C10C7124
C4C6C41
③甲取1个红球，乙取4个白球，则甲获胜，概率为 ?34
70C10C7
133
，试确定a，b的值。 50
(2)甲、乙成平局包括两类事件
2122C4C6C2C53
①甲取2红1白，乙取2红2白，概率为 ?34
35C10C72113
C4C6C3C46
②甲取1红2白,乙取1红3白，概率为 ?34
35C10C7
∵这两个事件彼此排斥∴成平局的概率为
369?? 353535
4解:记“总钱数超过1元8角”为事件A,它包括以下4种情况：①“3个1元硬币”记为事件A1;②“2个1元硬币,1个5角硬币”记为A2;③“2个1元硬币,1个1角硬币”记为事件A3;④“1个1元硬币,2个5角硬币”记为事件A4
3212112C3C3C3C3C4C3C31912193
?P(A1)?3?,P(A2)??,P(A)???,P(A)???34333
1201201012040C10120C10C10C10
且A1，A2，A
3
，A
4
彼此互斥
?P(A)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(A4)?
1?9?12?931
?
120120
12C3C721
5解:(1)恰有一张号码为3的倍数的概率是P? ?3
40C10
(2)ξ可取0，1，2，3
312133
C7C3C7C3C7C372171
P(??0)?3?,P(??1)??,P(??2)??,P(??3)??333
4040120C1024C10C10C10
∴ξ的分布列为
????0?
721719?1??2??3?? 24404012010
111
??；若按钮第一次、236
6解:(1)若按钮第一次、第二次按下后均出现红球，则其概率为
第二次按下后依次出现绿球，红球，则其概率为
133??。故所求概率为2510
P2?
137?? 61015
(2)第n-1次按下按钮后出现红球的概率为Pn-1(n∈N,n≥2),则出现绿球的概率为1－Pn-1
若第n-1次、第n次按下后均出现红球，则其概率为Pn?1?
1
；若第n-1次、第n次按
3
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