求轨迹方程的十种技法
篇一：高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程的六种常用技法
轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法
根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．已知线段AB?6，直线AM,BM相交于M，且它们的斜率之积是
4
，求点M 的轨迹方程。 9
解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则A(?3,0),B(3,0)，设点M的坐标为(x,y)，则直线AM的斜率kAM?
yy(x??3)，直线BM的斜率kAM?(x?3) 由已知有x?3x?3
yy4
??(x??3) x?3x?39
x2y2
化简，整理得点M的轨迹方程为??1(x??3)
94
练习：1．平面内动点P到点F(10,0)的距离与到直线x?4的距离之比为2，则点P的轨迹方程是 。
????????
2．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x?2y?4交于A、B两点，P是l上满足PA?PB?1的点，求点
2
2
P的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 2．定义法
通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例2．若B(?8,0),C(8,0)为?ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是30，则?ABC的重心轨迹方程是_______________。
解：设?ABC的重心为G(x,y)，则由AC和AB两边上的中线长之和是30可得
2
BG?CG??30?20，而点B(?8,0),C(8,0)为定点，所以点G的轨迹为以B,C 为焦点的椭圆。 所
3
以由2a?20,c?
8可得a?10,b?
?6
x2y2
故?ABC的重心轨迹方程是??1(y?0)
10036
练习：4
．方程?|x?y?2|表示的曲线是 （ ） A．椭圆B．双曲线 C．线段 D．抛物线
3．点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1?x2，y1?y2，x1?x2，y1?y2等关系式，由于弦AB的中点P(x,y)的坐标满足2x?x1?x2，
2y?y1?y2且直线AB的斜率为
y?y，由此可求得弦AB中点的轨迹方程。
x2?x1
x2y2
例3．椭圆??1中,过P(1,1)的弦恰被P点平分,则该弦所在直线方程为_________________。
42
解：设过点P(1,1)的直线交椭圆于A(x1,y1)、B(x2,y2)，则有
x12y12x22y22
??1①??1 ② 4242
(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)
??0
42
而P(1,1)为线段AB的中点，故有x1?x2?2,y1?y2?2
①?②可得所以
(x1?x2)?2(y1?y2)?2y?y11
??0?12??，即kAB??
42x1?x222
所以所求直线方程为y?1??
1
(x?1)化简可得x?2y?3?0 2
2
2
练习：5．已知以P(2,2)为圆心的圆与椭圆x?2y?m交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。
y2
?1，过点P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于A,B两点，使P 为线段AB的中6．已知双曲线x?2
2
点？
4．转移法
转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程： ①某个动点P在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点M随P的变化而变化； ③在变化过程中P和M满足一定的规律。
x2y2
??1上的动点，求?F1F2P的重心G 的轨迹方程。 例4． 已知P是以F1,F2为焦点的双曲线
169
解：设 重心G(x,y)，点 P(x0,y0)，因为F1(?4,0),F2(4,0)
?4?4?x0?x???x?3x?3则有?， 故?0代入
0?0?yy?3y?0?y??3?
2
x2y2
0?0?1 得所求轨迹方程 169
9x2
?y2?1(y?0) 16
例5．抛物线x?4y的焦点为F,过点(0,?1)作直线l交抛物线A、B两点,再以AF、BF为邻边作平行四边形AFBR，试求动点R的轨迹方程。
解法一：（转移法）设R(x,y)，∵F(0,1)，∴平行四边形AFBR的中心为P(,将y?kx?1，代入抛物线方程,得x?4kx?4?0， 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
2
xy?1
)，
22
???16k2?16?0?|k|?1????
??x1?x2?4k ① ?x1?x2?4k
?????x1x2?4?x1x2?4
2
x12?x2(x1?x2)2?2x1x2
∴y1?y2???4k2?2，
44
?xx1?x2
??2k??x?4k?22
∵P为AB的中点.∴?，消去k得 ??2
?y?1?y1?y2?2k2?1?y?4k?3?2?2x2?4(y?3)，由①得，|x|?4，故动点R的轨迹方程为x2?4(y?3)(|x|?4)。
解法二：（点差法）设R(x,y)，∵F(0,1)，∴平行四边形AFBR的中心为P(,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有
xy?1
)，
22
x12?4y1 ①x22?4y2 ②
由①?②得(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)?x1?x2?4kl ③
y?1
?1
xy?3
而P为AB的中点且直线l过点(0,，所以x1?x2?2??x,kl?代入③可得?1)?
x2x2
x2?12y?32
，化简可得x?4y?12?y?④ x?4?
4x
由点P(,
xy?1xy?1
)在抛物线口内，可得()2?4??x2?8(y?1)⑤
2222
x2?12
将④式代入⑤可得x?8(?1)?x2?16?|x|?4
4
2
故动点R的轨迹方程为x?4(y?3)(|x|?4)。
2
????????
练习：7．已知A(?1,0),B(1,4)，在平面上动点Q满足QA?QB?4，点P是点Q关于直线y?2(x?4)的
对称点，求动点P的轨迹方程。
5．参数法
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。
????????????
例6．过点M(?2,0)作直线l交双曲线x?y?1于A、B两点，已知OP?OA?OB。
2
2
（1）求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（2）是否存在这样的直线l，使OAPB矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。 解：当直线l的斜率存在时，设l的方程为y?k(x?2)(k?0)，代入方程x?y?1， 得(1?k)x?4kx?4k?1?0
因为直线l与双曲线有两个交点，所以1?k?0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
2
2
2
2
2
22
4k24k2?1
x1?x2?,x1x2?2① 2
1?kk?1
k?4k24k
y1?y2?k(x1?2)?k(x2?2)?k(x1?x2)?4k??4k?
1?k21?k2
????????????4k24k
设P(x,y)，由OP?OA?OB 得(x,y)?(x1?x2,y1?y2)?(,) 22
1?k
1?k
?4k24xx??
1?k2x4k?y
∴? 所以?k，代入y?可得，化简得 y?2
xy1?k24k?1?()y?y?1?k2?
x2?y2?4x?0即(x?2)2?y2?4②
当直线l的斜率不存在时，易求得P(?4,0)满足方程②，故所求轨迹方程为(x?2)?y?4(y?0)，其轨迹为双曲线。（也可考虑用点差法求解曲线方程）
2
2
????????
（2）平行四边OPAB为矩形的充要条件是OA?OB?0即x1x2?y1y2?0 ③
当k不存在时，A、B
坐标分别为(?
、(?2,，不满足③式
222
当k存在时，x1x2?y1y2?x1x2?k(x1?2)k(x2?2)?(1?k)x1x2?2k(x1?x2)?4k
(1?k2)(1?4k2)2k2?4k2k2?12??2?4k?0化简得2?0，
1?k2k?1k?1
此方程无实数解，故不存在直线l使OPAB为矩形。
y2
练习：8．设椭圆方程为x??1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足
4
2
111
(?),点N的坐标为(,),当l绕点M旋转时,求: 222
(1)动点P的轨迹方程； (2)|NP|的最小值与最大值。 ?
9．设点A和B为抛物线y?4px(p?0)上原点O以外的两个动点，且OA?OB，过O作OM?AB于M，求点M的轨迹方程。
6．交轨法：若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。
x2y2??1中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，例7．已知MN是椭圆求直线MA和NB22ab
2
的交点P的轨迹方程。
解1:(利用点的坐标作参数)令M(x1,y1)，则N(x1,?y1)
而A(?a,0),B(a,0).设AM与NB的交点为P(x,y) 因为A,M,P共线，所以
y2
yyyy
因为N,B,P共线，所以???
x?ax1?ax?ax1?a
y2b2(a2?x2)x2y22????1即y1?两式相乘得①， 而代入①
2222222x?ax1?aaab
b2x2y2???1 得， 即交点P的轨迹方程为 22222x?aaab
x2
解2: (利用角作参数)设M(acos?,bsin?)，则N(acos?,?bsin?)
所以
yybsin?bsin?
,两式相乘消去? ???
x?aacos??ax?aacos??a
x2y2
??1。 即可得所求的P点的轨迹方程为 22ab
练习：10．两条直线ax?y?1?0和x?ay?1?0(a??1)的交点的轨迹方程是___ ______。
总结归纳
1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x,y的取值范围。
2．“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。
篇二：几种常见求轨迹方程的方法
几种常见求轨迹方程的方法
1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例1:
(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；
(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．
对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．
解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．
对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，
解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM． ∵kOM·kAM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．
2．定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定
值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 直平分线l交半径OQ于点P，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程． 分析： ∵点P在AQ的垂直平分线上， ∴|PQ|=|PA|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R． 故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义 写出P点的轨迹方程． 解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2． 由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．
3．相关点法 若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．
例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程． 分析： P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系． 解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0) ∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．
4．待定系数法 求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．
例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲 曲线方程． 分析： 因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方 ax2-4b2x+a2b2=0 ∵抛物线和双曲线仅有
两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根． ∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b． (以下由学生完成) 由弦长公式得： 即a2b2=4b2-a2．
篇三：求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法：
1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：
1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
?x?f(t) 2.轨迹方程既可用普通方程F(x，y)?0表示，又可用参数方程(t为参数) ??y?g(t)
来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。
4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。
课前热身：
x2y2
1. P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹?95
中点的轨迹方程为：（ ）【答案】：B
x2y242y2x242x2y2
?1B、?y?1 C、??1 D、? A、x? 9595920365
x242【解答】:令中点坐标为(x,y),则点P 的坐标为(x,2y)代入椭圆方程得?y?1,选B 95
2. 圆心在抛物线y?2x(y?0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是 2
A x?y?x?2y?221?0 4
2B x2?y2?x?2y?1?0 2C x2?y2?x?2y?1?0 D x?y?x?2y?1?0【答案】：D 4
a2a21,a),则由题意可得a??,解得a?1,则圆的方程为【解答】:令圆心坐标为(222
x2?y2?x?2y?1?0,选D 4
3: 一动圆与圆O：x2?y2?1外切，而与圆C：x2?y2?6x?8?0内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：
A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【答案】：D
【解答】令动圆半径为R，则有??|MO|?R?1，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。 |MC|?R?1?
4: 点P(x0，y0)在圆x2+y2=1上运动，则点M（2x0，y0）的轨迹是 （ ）
A.焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆
C. 焦点在y轴上的双曲线 D. 焦点在X轴上的双曲线
x??x?2x0x2?x0??y2?1,选A 【解】:令M的坐标为(x,y),则???2代入圆的方程中得4?y?y0?y?y?0
名师点题一：用定义法求曲线轨迹
求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。
例1：已知?ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足
5sinB?sinA?sinC,求点C的轨迹。 4
55【解析】由sinB?sinA?sinC,可知b?a?c?10，即|AC|?|BC|?10，满足椭44
圆的定义。令椭圆方程为x2
a'2?y2b'2?1，则a'?5,c'?4?b'?3，则轨迹方程为
x2y2
??1（x??5)，图形为椭圆（不含左，右顶点）。 259
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
（1） 圆：到定点的距离等于定长
（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）
（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）
（4） 到定点与定直线距离相等。
【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆
一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。
解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：。 ，的圆心为M2，。
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。 故所求轨迹方程为
2:一动圆与圆O：x2?y2?1外切，而与圆C：x2?y2?6x?8?0内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：
A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支
【解答】令动圆半径为R，则有??|MO|?R?1，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。
?|MC|?R?1
二：用直译法求曲线轨迹方程
此类问题重在寻找数量关系。
例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y
轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？
解 设M点的坐标为(x,y) 由平几的中线定理：在直角三角
形AOB中，OM=11AB??2a?a, 22
?x2?y2?a,x2?y2?a2
M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.
【点评】此题中找到了OM=1AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有2
下列几种情况：
1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。
2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。
3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法
.
【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即
求动点P的轨迹方程？
22【解答】∵|PA|=(x?3)?y,|PB|?|PA|，?2）|PB|(x?3)2?y2 (x?3)2?y2|PA|?2?(x?3)2?y2?4(x?3)2?4y2 代入?2得|PB|(x?3)2?y2
化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.
三：用参数法求曲线轨迹方程
此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。
例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
【解析】
分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。
解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０） 由l1?l2，则直线l2的方程为y?4??1(x?2) k
4，0)， k
24?)， l2与y轴交点B的坐标为(0，k ?l1与x轴交点A的坐标为(2?
∵M为AB的中点， 4?2???1?2x???2k ??(k为参数) 2?4??k?2?1y??2k?
消去k，得x＋2y－5＝0。
另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；
当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。
综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性： |MP|?1|AB| 2
解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），
∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形 由直角三角形的性质，|MP|?
?(x?2)?(y?4)?221|AB| 21(2x)2?(2y)2 2
化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。
分析3：：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。
解法3：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。
又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2
∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，而kPA?
?4?0，k2?2xPB?4?2y 2?044?2y??1，化简，得x?2y?5?0 2?2x2
注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）
中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0
综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
【点评】
1）解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了kPA·kPB
1＝－1，|MP|?|AB|这些等量关系。。 2
用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响
【变式3】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。
解法一：“几何法”
设点M的坐标为（x,y）,因为点M 是弦BC的中点，所以OM⊥BC,
２２ ２所以|OM | ＋|ＭＡ|＝|ＯＡ| ， 即(x2 +y2)+(x －４)2 +y2 =16
化简得：（x－2）2+ y2 =4................................①
由方程 ① 与方程x2 +y2= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为 （x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，
2为半径的圆在圆O内的部分。
解法二：“参数法”
设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k(x－4),
由直线与圆的方程得（1+k2）x2 －8k2x +16k2－4=0...........(*),
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