信息论与编码试卷及答案2
篇一：信息论与编码期末考试题(全套)
（一）
7、某二元信源
一、判断题共 10 小题，满分 20 分.
1. 当随机变量X和Y相互独立时，条件熵H(X|Y)等于信源熵H(X). （ ）
2. 由于构成同一空间的基底不是唯一的，所以不同的基
1??X??0
?P(X)???1/21/2?，其失真矩阵????
?0a?
，则该信源的Dmax= D????a0?
三、本题共 4 小题，满分 50 分.
1、某信源发送端有2种符号xi(i?1,2),p(x1)?a；接收端
底或生成矩阵有可能生成同一码集.符号 y( j ? 1 ,2) ，转移概率矩阵为 有3 种,3（） 3.一般情况下，用变长编码得到的平均码长比定长编码大得多. （ ）
4. 只要信息传输率大于信道容量，总存在一种信道编译码，可以以所要求的任意小的误差概率实现可靠的通
信
（ ） 5. 各码字的长度符合克拉夫特不等式，是唯一可译码存在的充分和必要条件. （ ） 6. 连续信源和离散信源的熵都具有非负性. （ ）
7. 信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确定性就越小，获得的信息量就越小. 8. 汉明码是一种线性分组码. （ ） 9. 率失真函数的最小值是0
. （ ）
10.必然事件和不可能事件的自信息量都是0. （ ）
二、填空题共 6 小题，满分 20 分.
1
、
码
的
检
、
纠
错
能
力
取
决
于 .
2、信源编码的目的是的目的是 .
3、把信息组原封不动地搬到码字前k位的(n,k)码就叫做 .
4、香农信息论中的三大极限定理
是、、. 5、设信道的输入与输出随机序列分别为X和Y，则
I(XN,YN)?NI(X,Y)成立的
条件
6、对于香农-费诺编码、原始香农-费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是 .
iP???1/21/20?
?1/21/41/4?. ?
（1） 计算接收端的平均不确
定度H(Y)； （2） 计算由于噪声产生的不
确定度H(Y|X)； （3） 计算信道容量以及最佳入口分布. 2、一阶马尔可夫信源的状态转移
图2-13
图如右图所示， 信源X的符号集为{0,1,2}. （1）求信源平稳后的概率分布；
（2）求此信源的熵；
（ 3 ）近似地认为此信源为无记忆时，符号的概率分布为 平 X )
稳分布.求近似信源的熵H(并与H?进行比较.
4 、设二 元( 7 , 4 ) 线
性分组码的生成矩阵为??1101000?G??
0110100???1110010??
. ?1010001?
?
（1）给出该码的一致校验矩阵，写出所有的陪集首和与之相对应的伴随式；
（2）若接收矢量v?(0001011
)，试计算出其对应的伴随式S并按照最小距离译码准则
试着对其译码. （二）
一、填空题（共15分，每空1分）
1、信源编码的主要目的是 ，信道编码的主要目的是 。
2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是 ，二
是。 XY
3、三进制信源的最小熵为 ，最大熵为。 4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为 。
5、当时，信源与信道达到匹配。 6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为
和 。
7、根据是否允许失真，信源编码可分为
和 。
8、若连续信源输出信号的平均功率为?2，则输出信号幅度
的概率密度是 时，信源具有最大熵，其值为值 。 9、在下面空格中选择填入数学符号“?,?,?,?”或“?”
（1）当X和Y相互独立时，H（XY）H(X)+H(X/Y) H(Y)+H(X)。
（2）H??H?X1X2?
H?X1X2X3?2?X2H3?X??3
（3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y) 0,
H(Y/X) 0,I(X;Y)H(X)。
三、（16分）已知信源
??S??s1s2s3s4s5s6??P?????0.20.20.20.20.10.1??
（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长L;（4分）
（3）计算编码信息率R?;（2分）
（4）计算编码后信息传输率R;（2分） （5）计算编码效率?。（2分）
四、（10分）某信源输出A、B、C、D、E五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。如果符号的码元宽度为0.5?s。计算： （1）信息传输速率Rt。（5分）
五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为
P?S|S23|S1
11??,P?S21??3
,P?S1|S2??1,P?S2|S2??0。
(1) 画出状态转移图。(4分)
(2) 计算稳态概率。(4分)
(3) 计算马尔可夫信源的极限熵。(4分)
(4) 计算稳态下H1,H2及其对应的剩余度。(4分) 六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。试求这种信道的信道容量。
七、(16分)设X、Y是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。试计算 (1) H?X?,H?Z?;
(2) H?XY?,H?XZ?;
(3) H?X|Y?,H?Z|X?;
(4) I?X;Y?,I?X;Z?;
八、(10分)设离散无记忆信源的概率空间为
??X????x1x2?
P?0.80.2?，通过干扰信道，信道输出端的接收符号????
集为Y??y1,y
2?，信道传输概率如下图所示。
x1
y1
x2
y2
(1) 计算信源X中事件x1包含的自信息量； (2) 计算信源X的信息熵； (3) 计算信道疑义度H?X|Y?； (4) 计算噪声熵H?Y|X?；
(5) 计算收到消息Y后获得的平均互信息量。
《信息论基础》2参考答案
一、填空题（共15分，每空1分） 1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。 2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。
3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为log3
2 4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= Hr(S)）。
5、当R=C或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。 6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。 7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。
8、若连续信源输出信号的平均功率为?2
，则输出信号幅度2的概率密度是高斯分布或正态分布或f?
x??
2??x时，
信源具有最大熵，其值为值1
log2?e?22
。
9、在下面空格中选择填入数学符号“?,?,?,?”或“?” （1）当X和Y相互独立时，H（XY）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。
（2）HH?X1X2?
H?X1X2X3?2?X??2?H3?X??
3
（3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)<H(X)。 三、（16分）已知信源
??S??????s1s2s3s4s5s6?
P??0.20.20.20.20.10.1??
（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长L;（4分）
（3）计算编码信息率R?;（2分）
（4）计算编码后信息传输率R;（2分） （5）计算编码效率?。（2分）
（1）
S10.200
S20.21S1.030.20
S140.21
S0
50.11
S6
0.1
1
编码结果为：
S1?00S2?01S3?100S4?101 S5?110S6?111
6
（2）L??Pi?i?0.4?2?0.6?3?2.6码元
i?1
（3）R??logr=2.6
（4）R?
H?S?
?
2.53
?0.973bit2.6
其中，H?S??H?0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1??2.53
（5）??
H?S??S?logr
?
H?0.973
评分：其他正确的编码方案：1，要求为即时码 2，平均码长
最短 四、（10分）某信源输出A、B、C、D、E五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。如果符号的码元宽度为0.5?s。计算： （1）信息传输速率Rt。（5分）
（1）R1
t?t??
H?X??H?X?
??
H?X???
18log18?4?112log2?1log8?1
log2 22
?31
2log2?2log2?2log2?2bitR?2bitt?s
?4?1060.5bps
五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为
P?S21
1|S1??3,P?S2|S1??3
,P?S1|S2??1,P?S2|S2??0。
(1) 画出状态转移图。(4分)
(2) 计算稳态概率。(4分)
(3) 计算马尔可夫信源的极限熵。(4分)
(4) 计算稳态下H1,H2及其对应的剩余度。(4分) 解：(1)
1
(2)由公式P?Si???2
P?Si
|Sj
?P?Sj
?
j?1
有
?
2
?P?S1??PS|SPS?2P?S1??P?S2?
??1i??i??i?13?2
?
P?
?S1
2???P?S2|Si?P?Si??P?S1? i?13??P?S1??P?S2??1?
?
P?S??3得??1?4
???P?S12
??4
(3)该马尔可夫信源的极限熵为：
22
H?????P?Si?P?Sj|Si?logP?Sj|Si?
i?1j?1
??34?23?log2311
3?4?3?log
3?1
2?0.578?1
4?1.599?0.681bit符号?0.472nat符号?0.205hart(4)在稳态下：
2
???P?x?3
311?i?logP?xi???i?1
??4?log4?4?log4???0.811bit符号
H2?H??0.205hart符号?0.472nat?0.681bit
对应的剩余度为
??H10.811
1?1H?1??0.189
0???1?2log??1?1?1??
?2???2log??2????
?2?1?
H20.681H?1??0.319 0???1?1?2log???2???1?1??
2log??2????
六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。试求这种信道的信道容量。
X
Y
解：信道传输矩阵如下
??1
1?2200???011?P220??Y|X
????1??001 ?22???11??2
2??
可以看出这是一个对称信道，L=4,那么信道容量为
C?log4?H??11?
?2,2,0,0?
?
L
?logL??p?yj|xi?logp?yj|xi?
j?1
?log4?2?11
2log
2
?1bit
七、(16分)设X、Y是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。试计算 (1) H?X?,H?Z?; (2) H?XY?,H?XZ?; (3) H?X|Y?,H?Z|X?; (4) I?X;Y?,I?X;Z?;
H?X??H??1?2,1?
2???1bit
H(2)?H??3?4,1?
4??
?0.8113bit
(2) H?XY??H?X??H?Y??1?1?2bit对
H?XZ??H?X??H?Z|X??1?11?12H?1,0??1?
2H??2,2??
?1.5bit对
(3) H?X|Y??H?X??1bit
H?Z|X??
112H?1,0??2H??11?
?2,2??
?0.5bit
(4) I?X,Y??H?Y??H?Y|X??H?Y??H?Y??0 I?X,Z??H?Z??H?Z|X??0.8113?0.5?0.3113bit
八、(10分)设离散无记忆信源的概率空间为
??X??x1x2?
?P?????0.80.2?，通过干扰信道，信道输出端的接收符号?
集为Y??y1,y2?，信道传输概率如下图所示。
x1
y1
x2
y2
(6) 计算信源X中事件x1包含的自信息量； (7) 计算信源X的信息熵； (8) 计算信道疑义度H?X|Y?； (9) 计算噪声熵H?Y|X?；
(10) 计算收到消息Y后获得的平均互信息量。
解：
(1) I?x1???log0.8?0.322bit?0.0969hart?0.223nat (2) H?X??H?0.8,0.2??0.722bit?0.5nat?0.217hart符号 (3)
H?XY??H??2?3,215,320,1?
20?
??1.404bit符号
?0.973nat?0.423hartH?Y??H?49/60,11/60??0.687bit?0.476nat?0.207hart符号
H?X|Y??H?XY??H?Y??0.717bit?0.497nat?0.216hart
(4)
H?Y|X??H?XY??H?X??0.682bit?0.473nat符号?0.205hart符号
(5)
I?X;Y??H?X??H?X|Y??0.00504bit符号?0.00349nat符号?0.00152hart
(三)
一、 选择题（共10分，每小题2分）
1、有一离散无记忆信源X，其概率空间为
??X??x1
x2x3x4??P?????0.50.250.1250.125?，则其无记忆二?次扩展信源的熵H(X2)=( ) A、1.75比特/符号； B、3.5比特/符号； C、9比特/符号； D、18比特/符号。 2、信道转移矩阵为
??P(1y/1
x)2
P(
1
y/x)0
??00P3
y(/?2x4P)2y(x??0
0P?
50y3x??
其中P(yj/xi)两两不相等，则该信道为
3、A、一一对应的无噪信道
B、具有并归性能的无噪信道 C、对称信道
D、具有扩展性能的无噪信道
3、设信道容量为C，下列说法正确的是：（）
A、互信息量一定不大于C B、交互熵一定不小于C
C、有效信息量一定不大于C D、条件熵一定不大于C
4、在串联系统中，有效信息量的值（）
A、趋于变大 B、趋于变小 C、不变 D、不确定
5、若BSC信道的差错率为P，则其信道容量为：（） A、
H?p?
p
log?1?p
?2??1?B、
?p??p?
??
篇二：信息论与编码试卷及答案
信息论 考试题，考前必看
一、（11’）填空题
（1） 1948年，美国数学家 香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创
立了信息论。
（2） 必然事件的自信息是 0 。
（3） 离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的 N倍 。
（4） 对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为__信源符号等概分布_。
（5） 若一离散无记忆信
源的信源熵H（X）
等于2.5，对信源进
行等长的无失真二
进制编码，则编码
长度至少为
。
（6） 对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是 香农编码。
（7） 已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_______个码元错误，
最多能纠正___1__个码元错误。
（8） 设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R__小于___C（大
于、小于或者等于），
则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。
（9） 平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与___译码规则____________和___编码方
法___有关
二、（9?）判断题
（1） 信息就是一种消息。 （ ?）
（2） 信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠
性。 （ ?）
（3） 概率大的事件自信息量大。 （ ?）
（4） 互信息量可正、可负亦可为零。（ ? ）
（5） 信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。（ ?）
（6） 对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。 （ ?）
（7） 非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。 （ ? ）
（8） 信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码），霍夫曼编码方法构造的是最佳码。
（ ? ）
（9）信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D的上凸函数. ( ?)
三、（5?）居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。
假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？ 解：设A表示“大学生”这一事件，B表示“身高1.60以上”这一事件，则
P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75（2分）
故p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375（2分）
I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分）
四、（5?）证明：平均互信息量同信息熵之间满足
I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)
证明：
I?X;Y????p?xiyj?log
XYpxiyjpxi??
????????p?xiyj?logp?xi??????p?xiyj?logpxiyj?（2分）
XY?XY?
?H?X??H?XY?
同理
I?X;Y??H?Y??HYX （1分）
则 ??
HYX?H?Y??I?X;Y?
因为
H?XY??H?X??HYX （1分）
故 ????
H?XY??H?X??H?Y??I?X;Y?
即
I?X;Y??H?X??H?Y??H?XY? （1分）
五、（18’）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：
1） 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H?X?；
2） 假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为
，，求其熵H??X?。 ，
，3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。
解：1）信源模型为 （1分）
（2分）
2）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。 （2分）
由
（4分）
得极限状态概率
（2分）
（3分）
3）
?1?1?H(X)?0.119log22 （1分）
H?(X)?0.447log22（1分） ?2?1?
?2??1。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）
六、（18’）.信源空间为
x2x3x4x5x6x7?X??x1??P(X)??0.20.190.180.170.150.10.01???
曼码，计算其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。
??，试分别构造二元香农码和二元霍夫?
L??p(ai)li?3.14i?17R?H(X)2.61??0.8313.14L
篇三：与答案信息论与编码试题集考试必看 2
1.一阶齐次马尔可夫信源消息集X?{a1,a2,a3}，
状态集S?{S1,S2,S3}，且令Si?ai,i?1,2,3，条件转移概率为
?
?
??442?
P(a?3?，(1)画出该马氏链的状态转移图； j/Si)??30?
???
(2)计算信源的极限熵。 解：(1)
??w1?w2?w3?w1?4w1?3w2?3w3?w2?w1?0.4
（2）??2w1?3w2
?w3→?
?w2?0.3
???
w1?w2?w3?1?w3
?0.3H(X|S1) =H(1/4,1/4,1/2)=1.5比特/符号 H(X|S2)=H(1/3,1/3,1/3)=1.585比特/符号
H(X|S3)=H(2/3,1/3)= 0.918比特/符号
H???3
wHX|S?0.4?1.5?0.3?1.585?0.3?0.918?1.351比特/符号 i?1
i?i
?
三、计算题
某系统（7，4）码
c?(c6c5c4c3c2c1c0)?(m3m2m1m0c2c1位与信息位的关系为：
??
c2?m3?m1?m0?c1?m3?m2?
m?1 ?c0
?m2?m1?m
0（1）求对应的生成矩阵和校验矩阵；
（2）计算该码的最小距离；
（3）列出可纠差错图案和对应的伴随式； （4）若接收码字R=1110011，求发码。
c0)其三位校验
?1?0
解：1. G??
?0??0
0100
0010
0001
1011
1?0
?1
1?1? H??1
?1?1
???0
0?1
011111101100
0?01? ? 00??1
2. dmin=3 3.
4. RHT=[001]接收出错
E=0000001 R+E=C= 1110010 (发码)
四、计算题
已知?X,Y?的联合概率p?x,y?为： 求H?X?，H?Y?，H?X,Y?，I?X;Y?
X01
01/30
11/31/3
?1/ 3 解: p(x?0)?2/3 p(x?1)p(y?0)?1/3 p(y?1)?2/ 3
H?X??H?Y??H(1/3,2/3)?0.918 bit/symbol H?X,Y??H(1/3,1/3,1/3)=1.585 bit/symbolI?X;Y??H(X)?H(Y)?H(X,Y)?0.251 bit/symbol
?1/21/31/6?
??１． 设有ＤＭＣ，其转移矩阵为?PY|X??1/61/21/3，若信道输入概率为????1/31/61/2??
?PX???0.5
0.250.25?，试确定最佳译码规则和极大似然译码规则，并计算出相应
的平均差错率。
?1/41/61/12???解：[PXY]?1/241/81/12 ????1/121/241/8??
?F(b1)?a1
?
最佳译码规则：?F(b2)?a1，平均差错率为1-1/4-1/6-1/8=11/24；
?F(b)?a
33??F(b1)?a1
?
极大似然规则：?F(b2)?a2，平均差错率为1-1/4-1/8-1/8=1/2
?F(b)?a
33?
１．设信源为?
x2??X??x1
，试求（1）信源的熵、信息含量效率以及冗余度； ????
?PX??1/43/4?
（2） 求二次扩展信源的概率空间和熵。 解： （1）
H(X)?1/4log24?3/4log2(4/3)
??H(X)/log22?H(X)??1???1?H(X)
（2）二次扩展信源的概率空间为：
H(XX)?1/16log216?3/16log2(16/3)?3/16log2(16/3)?9/16log2(16/9)
4,.信源空间为
x2x3x4x5x6x7?X??x1
??P(X)??0.20.190.180.170.150.10.01
???
其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。
?
?，试构造二元霍夫曼码，计算?
七、计算题
两个BSC信道的级联如右图所示： （1）写出信道转移矩阵； （2）求这个信道的信道容量。
解： （1）
1
???1?????(1??)2??2?1??
P?PP??12?????1?????1????2?(1??)??
2
2
2?(1??)?
22?(1??)???
（2）C?log2?H((1??)??)
?000111??
011001九、（18?）设一线性分组码具有一致监督矩阵H??????101011??
1）求此分组码n=?,k=?共有多少码字？ 2）求此分组码的生成矩阵G。
3）写出此分组码的所有码字。
4）若接收到码字（101001），求出伴随式并给出翻译结果。
解：1）n=6,k=3,共有8个码字。（3分） 2）设码字
?
C??C5C4C3C2C1C0?
由HC
T
?0T得
令监督位为
?C2?C1?C0?0?
?C4?C3?C0?0?C?C?C?C?0
310?5
（3分）
?C2C1C0?，则有
?C2?C5?C3
?
?C1?C5?C4?C?C?C
43
?0 （3分） ?100110?
?010011????001101?? （2分） 生成矩阵为?
3）所有码字为000000，001101，010011，011110，100110，101011，110101，111000。（4分）
4）由S?HR得
T
T
S??101?，（2分）该码字在第5位发生错误，（101001）纠正为（101011），即译码为
（101001）（1分）
一、 1.答：平均自信息为
表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息
表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
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