篇一：大一下学期高等数学期末考试试题及答案
高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】
院（系）别
班级 学号 姓名
成绩
一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）
1、已知向量a、b满足a?b?0，a?2，b?2，则a?b?
?3z
2、设z?xln(xy)，则? 2
?x?y
3、曲面x2?y2?z?9在点(1,2,4)处的切平面方程为．
4、设f(x)是周期为2?的周期函数，它在[??,?)上的表达式为f(x)?x，则f(x)的傅里叶级数 在x?3处收敛于 ，在x??处收敛于 ． 5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则
?(x?y)ds?．
L
※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）
222
??2x?3y?z?9
1、求曲线?2在点M0(1,?1,2)处的切线及法平面方程． 22
??z?3x?y
2、求由曲面z?2x?2y及z?6?x?y所围成的立体体积． 3、判定级数
2222
?(?1)nln
n?1
?
n?1
是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ n
x?z?2z
4、设z?f(xy,)?siny，其中f具有二阶连续偏导数，求． ,
y?x?x?y
5、计算曲面积分
dS2222
,其中是球面被平面z?h(0?h?a)截出的顶部． x?y?z?a???z?
三、（本题满分9分）
抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．
四、 （本题满分10分）
计算曲线积分
?
L
(exsiny?m)dx?(excosy?mx)dy，
其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2?y2?ax(a?0)．
五、（本题满分10分）
xn
求幂级数?n的收敛域及和函数．
n?13?n
?
六、（本题满分10分）
计算曲面积分I?
3322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy， ???
其中?为曲面z?1?x2?y2(z?0)的上侧．
七、（本题满分6分）
设f(x)为连续函数，f(0)?a，F(t)?
???[z?f(x
?tt?0
2
?y2?z2)]dv，其中?
t是由曲面z?
与z?所围成的闭区域，求 lim?
F(t)
． t3
-------------------------------------
备注：①考试时间为2小时；
②考试结束时，请每位考生按卷面?答题纸?草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】
参考解答与评分标准
一、填空题【每小题4分，共20分】 1、?4； 2、?二、试解下列各题【每小题7分，共35分】
1
；3、2x?4y?z?14； 4、3，0； 5
y2
dz?dy
3y?z??2x?dy5xdz7x?dxdx1、解：方程两边对x求导，得?， 从而，…………..【4】 ???
dx4ydx4z?ydy?zdz??3x
?dx?dx
该曲线在
571
处的切向量为T?(1,,)?(8,10,7).…………..【5】 1,?1,2??
488
x?1y?1z?2
………………..【6】 ??
8107
故所求的切线方程为
法平面方程为
8?x?1??10?y?1??7?z?2??0 即 8x?10y?7z?12……..【7】
?z?2x2?2y2
?x2?y2?2，该立体?在xOy面上的投影区域为Dxy:x2?y2?2．…..【2】２、解：? 22
?z?6?x?y
故所求的体积为V
?
???dv??d??
2?0
d??
6??22?2
dz?2?0
(6?3?2)d??6?……..【7】
?
11n
３、解：由limnun?limnln(1?)?limln(1?)?1?0，知级数?un发散…………………【3】
n??n??nn??nn?1
又|un
111
【7】 |?ln(1?)?ln(1?)?|un?1|,lim|un|?limln(1?)?0.故所给级数收敛且条件收敛．
n??n??nn?1n
４、解：
?z11????(f1?y?f2?)?0?yf1?f2?， …………………………………【3】
?xyy
1x?2zx11x
???2f2??3f22??.【7】???x?f12???(?2)]?2f2??[f21???x?f22???(?2)]?f1??xyf11 ?f1??y[f11
yy?x?yyyyy
５、解：?
的方程为z??，?在xOy面上的投影区域为Dxy?{(x,y)|x2?y2?a2?h2}．
…..………【３】
2?dSadxdy
???2?a?
d?故??2200za?x?y?Dxy
?d??122?2?a?ln(a??)??a2??22??0
a
?2?aln..【7】
h
三、【9分】解：设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点M
到原点的距离为d?
令L(x,y,z)?x
2
【1】
?y2?z2??(z?x2?y2)??(x?y?z?1)，
?Lx?2x?2?x???0
?L?2y?2?y???0y??1??
Lz?2z?????0，解得x?y?则由?z?2
222?z?x?y
?
x?y?z?1??
M1(
?1??1?1??1,2M2(…………………【7】 2222
又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．
故dmax
?|OM2|?dmin?|OM1|? ……【9】
四、【10分】 解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得
I2?
而I1
xx2
．………………【5】 (esiny?m)dx?(ecosy?mx)dy??md???ma???8DL?OA
?
?(esiny?m)dx?(ecosy?mx)dy??m?dx??ma…………【8】
x
x
xx
a
??(esiny?m)dx?(ecosy?mx)dy?I2?I1?ma?
L
?
8
ma2. ………………………【10】
an?1n3n1
?lim??R?3，收敛区间为 (?3,3)…………【2】 五、【10分】解：??lim
n??an??n?13n?13n?1??1
又当x?3时，级数成为?，发散；当x??3时，级数成为?，收敛．……【4】
nn?1n?1n
?
?
n
故该幂级数的收敛域为
?
??3,3?………【5】
xn
令s?x???n（?3?x?3），则
n?1n3
xn?11?xn?1111
?, (|x|?3) ……【8】 s(x)??n??()??
3n?1331?x/33?xn?13
?
于是s(x)?
?
x0
s?(x)dx??
xdx
（?3?x?3）………………….【10】 ??ln?3?x?0?ln3?ln?3?x?，
03?xx
22
六、【10分】解：取?1为z?0(x?y?1)的下侧，记?与?1所围成的空间闭区域为?，则由高斯公式，
有I2
?
???1
??
2x3dydz?2y3dzdx?3?z2?1?dxdy????6?x2?y2?z?dv………….… 【5】
?
而I1
?6?d??d??
2?1
?1?20
??
2
?z??dz?2?…………………….…【7】
???2x3dydz?2y3dzdx?3?z2?1?dxdy???3?z2?1?dxdy?3
?1
?1
x2?y2?1
??
dxdy?3?….… 【9】
?I?I2?I1?2??3????.…………………….… 【10】
?
七、【6分】解：F?t??
?
2?02
?r2dr….… 【2】 d??4sin?d???rcos??fr???00?
t
?
tt???32244
?2???sin?cos?d??rdr??sin?d??
f?r?rdr?
0000??
?t4
????2??8
??22
rfrdr….… 【4】 ?0???
?
t
?t3????2?t2f(t2)?
F?
t?2?2?limf(t2)?2?a. 【6】
故lim3?limt?0?tt?0?t?0?3t233
?
篇二：大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷
（一）
一、选择题（共12分）
?2ex,x?0,
1. （3分）若f(x)??为连续函数,则a的值为( ).
?a?x,x?0
(A)1 (B)2 (C)3(D)-1 2. （3分）已知f?(3)?2,则lim(A)1(B)3(C)-1(D)
?
f(3?h)?f(3)
2h
的值为（ ）.
h?0
12
3. （3
分）定积分?2?
?2
的值为（ ）.
(A)0(B)-2(C)1(D)2
4. （3分）若f(x)在x?x0处不连续,则f(x)在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）
1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(x,y)处的切线斜率为3x2的曲线方程为 .
2. （3分） ?(x?xsinx)dx? .
?11
2
4
3. （3分） limxsin
x?0
2
1x
= .
2
4. （3分） y?2x?3x的极大值为
三、计算题（共42分） 1. （6分）求lim
xln(1?5x)sin3x
2
3
x?0
.
2. （6
分）设y?
x?1
求y?.
3. （6分）求不定积分?xln(1?x2)dx.
4. （6分）求?
3
x?
,x?1,?
其中 f(x?1)dx,f(x)??1?cosx
?ex?1,x?1.?
y
5. （6分）设函数y?f(x)由方程?etdt?
?
x
costdt?0所确定,求dy.
6. （6分）设?f(x)dx?sinx2?C,求?f(2x?3)dx. 3??
7. （6分）求极限lim?1??. n??2n??
n
四、解答题（共28分）
1. （7分）设f?(lnx)?1?x,且f(0)?1,求f(x).
??
2. （7分）求由曲线y?cosx??
转体的体积.
?
2
?x?
??
?与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周所得旋
2?
3. （7分）求曲线y?x3?3x2?24x?19在拐点处的切线方程. 4. （7
分）求函数y?x?[?5,1]上的最小值和最大值. 五、证明题(6分)
设f??(x)在区间[a,b]上连续,证明
?
ba
f(x)dx?
b?a2
[f(a)?f(b)]?
12
?
ba
(x?a)(x?b)f??(x)dx.
（二）
一、
填空题（每小题3分，共18分）
x?1x?3x?2
2
2
1．设函数f?x??
2
，则x?1是f?x?的第.
2．函数y?ln?1?x
2x
?，则y??
.
?1?x?
3． lim??
x??x??
?.
4．曲线y?
1
?1?
在点?,2?处的切线方程为 . x?2?
5．函数y?2x3?3x2在??1,4?上的最大值，最小值. 6．?
arctanx1?x
2
dx?
.
二、 单项选择题（每小题4分，共20分）
1．数列?xn?有界是它收敛的（ ） .
?A? 必要但非充分条件； ?B? 充分但非必要条件 ； ?C? 充分必要条件； ?D? 无关条件.
2．下列各式正确的是（ ） .
?A? ?e?xdx
1
?e
?x
?C； ?B?
?lnxdx??
1xlnx
1x
?C ；
?C? ?dx
1?2x
?
12
ln?1?2x??C； ?D?
dx?lnlnx?C.
3． 设f?x?在?a,b?上，f??x??0且f???x??0，则曲线y?f?x?在?a,b?上.
?A? 沿x轴正向上升且为凹的；?B? 沿x轴正向下降且为凹的； ?C? 沿x轴正向上升且为凸的；?D? 沿x轴正向下降且为凸的.
4．设f?x??xlnx，则f?x?在x?0处的导数（ ）.
?A? 等于1； ?B? 等于?1； ?C? 等于0； ?D? 不存在.
5．已知limf?x??2，以下结论正确的是（ ）.
x?1
?
?A? 函数在x?C? 函数在x
三、
?1处有定义且f?1??2；?B? 函数在x?1处的某去心邻域内有定义； ?1处的左侧某邻域内有定义；?D? 函数在x?1处的右侧某邻域内有定义.
计算（每小题6分，共36分）
2
1．求极限：limxsin
x?0
1x
.
2. 已知y?ln?1?x3. 求函数y?x
sinx
2
?，求y?.
?0?的导数.
?x
4.
?1?
x
2
x
2
dx.
5.
?xcos
1x
xdx.
1
y
?x确定函数y?f?x?，求y?.
2
6.方程y四、 五、 六、
（10分）已知ex为f?x?的一个原函数，求?x2f?x?dx. （6分）求曲线y?xe?x的拐点及凹凸区间. （10分）设?f?
?x?dx?x?e
x
?1?C，求f?x?.
?
（三）
一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).
1
（1）
lim(cosx)
x?0
x
2
1
（2）曲线y?xlnx上与直线x?y?1?0平行的切线方程为___y?x?1______. （3）已知f?(e)?xe（4）曲线
y?
x
2x
?x
，且f(1)?0, 则f(x)?______f(x)?2
y?
13x?
19__ .
(lnx)
2
_____ .
3x?1的斜渐近线方程为 _______
2y
5
x?1（5）微分方程的通解为_________
二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分). （1）下列积分结果正确的是（ D ）
y???(x?1)2y?
23
7
(x?1)2?C(x?1).
2
(A) (C)
??
1?1??1
1x
dx?01
(B)
(D)
?
1?1
1x
2
dx??2
x
4
dx???
?
??1
1x
dx???
（2）函数f(x)在[a,b]内有定义，其导数f'(x)的图形如图1-1所示，则（ D）.
(A)x1,x2都是极值点.
(B) ?x1,f(x1)?,?x2,f(x2)?都是拐点. (C) x1是极值点.，?x2,f(x2)?是拐点. (D) ?x1,f(x1)?是拐点，x2是极值点.
（3）函数
y?C1e?C2e
x
?2x
?xe
x
满足的一个微分方程是（D ）.
（A）y???y??2y?3xe. （C）y???y??2y?3xe.
（4）设f(x)在x0处可导，则h?0
lim
x
x
h
（B）y???y??2y?3e.（D）y???y??2y?3e.
为（A）.
x
x
f?x0??f?x0?h?
??f??x0?(A) f?x0?.(B) . (C) 0. (D)不存在 .
（5）下列等式中正确的结果是 （A ）.
(A) (?f(x)dx)??f(x). (B) ?df(x)?f(x).
(C)
d[?f(x)dx]?f(x).
(D) ?
f?(x)dx?f(x).
三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.
lim(
x?1
)
1．求极限
x?1
x?1
lnx.
lim(x
?1
)
limxlnx?x?1解 x?1x?1lnx=x?1(x?1)lnx 1分
lim
lnxx?1
x?1 =
x
?lnx
2分
lim
xlnx
= x?1
x?1?xlnx 1分 lim
1?lnx=
x?1
1?lnx?1
?1
2 2分
?x?lnsintdyd22.方程?
y
?y?cost?tsint确定y为x的函数，求dx与dx2
.
dy
?
y?(t)t,
解 dx
x?(t)
?tsin （3分）
d2
y(tsint)?dx
2
?
x?(t)
?sinttant?tsint.
（6分）
3. 4. 计算不定积分
?
.
解?
?2?
(1?x)
???????????2分
=2?arctanarctan
??????2分
=（arctan
2
?C?????????2分
4.计算定积分
?
3x0
1?
?x
dx
.
x?
x(1?
?x)
?
30
1?
?x
dx?
30
?x
dx???
3
解0(1?
?x)dx
3分）
（
篇三：大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷
一、选择题（共12分）
?2ex,x?0,1. （3分）若f(x)??为连续函数,则a的值为( ).
?a?x,x?0
(A)1 (B)2 (C)3(D)-1
2. （3分）已知f?(3)?2,则limh?0f(3?h)?f(3)的值为（ ）. 2h
(A)1(B)3(C)-1(D)
?1 2
3. （3
分）定积分?2?的值为（ ）. ?2
(A)0(B)-2(C)1(D)2
4. （3分）若f(x)在x?x0处不连续,则f(x)在该点处( ).
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(x,y)处的切线斜率为3x2的曲线方程为 .
2. （3分） ?(x2?x4sinx)dx? . ?11
3. （3分） limx2sinx?01= . x
4. （3分） y?2x3?3x2的极大值为
三、计算题（共42分）
xln(1?5x). 1. （6分）求lim2x?0sin3x2. （6
分）设y?求y?. 3. （6分）求不定积分?xln(1?x2)dx.
4. （6分）求?3
0?x,x?1,?f(x?1)dx,其中f(x)??1?cosx ?ex?1,x?1.?
5. （6分）设函数y?f(x)由方程?edt??costdt?0所确定,求dy. 00ytx
6. （6分）设?f(x)dx?sinx2?C,求?f(2x?3)dx.
3?7. （6分）求极限lim?1???.
n???2n?
四、解答题（共28分）
1. （7分）设f?(lnx)?1?x,且f(0)?1,求f(x). n
????2. （7分）求由曲线y?cosx???x??与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周2??2
所得旋转体的体积.
3. （7分）求曲线y?x3?3x2?24x?19在拐点处的切线方程.
4. （7
分）求函数y?x[?5,1]上的最小值和最大值.
五、证明题(6分)
设f??(x)在区间[a,b]上连续,证明
?b
af(x)dx?b?a1b[f(a)?f(b)]??(x?a)(x?b)f??(x)dx. 22a
标准答案
一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.
二、 1 y?x?1;2 32; 3 0; 40. 3
三、 1 解 原式?limx?5x5分 x?03x2
?5 1分 3
2分 2 解
xlny?l2??lxn2(?x?12
12x[?2] 4分
?y??2x?12x?1
3解 原式?122ln(1?x)d(1?x) 3分 ?2
12x?[(1?x2)ln(1?x2)??(1?x2)?dx2分 221?x
1?[(1?x2)ln(1?x2?)x2?]C1分 2
4 解 令x?1?t,则 2分
?03f(x)dx???1f(t)dt 1分
122t???1dt??1(et?1)dt1分 1?cost
21分 ?0?[et?t]1
?e2?e?1 1分
5 两边求导得ey?y??cosx?0, 2分 y???
cosx 1分 ye?cosx 1分 sinx?1
cosx?dy?dx 2分 sinx?1
6 解 ?1f(2x?3)dx??2f(2x?3)d(2?x 2分
1?sin(2x?3)2?C4分 2
7 3??解 原式=lim?1??n???2n?
3
22n3?32 4分 =e2分
四、1 解 令lnx?t,则x?et,f?(t)?1?et, 3分
f(t)??(1?et)dt=t?et?C.2分 f(0)?1,?C?0, 2分
?f(x)?x?ex. 1分
?
2 解 2 3分 Vx??2??cosxdx?2
?2??02co2sxdx2分 ?
?
3 解
令?22.2分 ???6x? 61分 y??3x2?6x?24,yy???0,得x?1. 1分
x?1时,y???0; 当1?x???时,y???0, 2分 当???
?(1,3)为拐点, 1分
该点处的切线为y?3?21(x?1). 2分
?2分 4 解
y??1?
令3y??0,得x?. 1分
4
?3?5y(?5)??5???2.55,y???,y(1)?1, 2分 ?4?4
?3?5y?
最小值为y(?5)??5?最大值为???. 2分 ?4?4
五、证明
?b
a(x?a)(x?b)f??(x)??(x?a)(x?b)df?(x)分 ab
?[(x?a)(x?b)f?(x)]a??af?(x)[2x?(a?b)dx分
???a[2x?(a?b)df(x)分 bbb
???[2x?(a?b)]f(x)?a?2?af(x)dx分
??(b?a)[f(a)?f(b)]?2?af(x)dx,分
移项即得所证分
bbb
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大一下高等数学期末试卷》出自：
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