初高中数学衔接教材

篇一：初高中数学衔接教材(已整理)

初高中数学衔接教材

编者的话

现有初高中数学教材存在以下“脱节”：

1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用； 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；

4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；

5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；

6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；

7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；

8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；

9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；

10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。

另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。

新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。

欢迎广大读者提出宝贵意见，我们将不胜感激！

目录

第一章数与式

1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式

第二章二次方程与二次不等式

2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系

2.2 二次函数

2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表达方式 2.2.3 二次函数的应用

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组的解法 第三章相似形、三角形、圆

3.1 相似形

3.1.1 平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似三角形形的性质与判定

3.2 三角形

3.2.1 三角形的五心

3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用

3.3 圆

3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理 3.3.2 点的轨迹

3.3.3 四点共圆的性质与判定 3.3.4 直线和圆的方程（选学）

2

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

?a,a?0,?

|a|??0,a?0,

??a,a?0.?

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 例1 解不等式：x?1?x?3＞4．

解法一：由x?1?0，得x?1；由x?3?0，得x?3； ①若x?1，不等式可变为?(x?1)?(x?3)?4， 即?2x?4＞4，解得x＜0， 又x＜1， ∴x＜0；

②若1?x?2，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4， 即1＞4，

∴不存在满足条件的x；

③若x?3，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4， 即2x?4＞4， 解得x＞4． 又x≥3， ∴x＞4．

综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4．

解法二：如图1．1－1，x?1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．

|x－3|

所以，不等式x?1?x?3＞4的几何意义即为 |PA|＋|PB|＞4． 由|AB|＝2，可知

点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．

x＜0，或x＞4．

练习 1．填空：

（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.

（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若?c?2，则c＝________. 2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A）若a?b，则a?b （B）若a?b，则a?b （C）若a?b，则a?b （D）若a?b，则a??b 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

3

|x－1|

图1．1－1

1.1.2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a2?b2；

222

（2）完全平方公式 (a?b)?a?2ab?．b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

23

（1）立方和公式 (a?b)(a ?ab?2b)?3a?；b

23

（2）立方差公式 (a?b)(a ?ab?2b)?3a?；b

222

（3）三数和平方公式(a?b?c)?a?b?2c2?(ab?bc?；) ac

3323

（4）两数和立方公式(a?b) ?a?3ab?3a2b?；b

332

（5）两数差立方公式(a?b) ?a?3ab?3a2b?．b对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

222

?(x?1)?x解法一：原式=(x2?1)???

=(x2?1)(x4?x2?1)

=x6?1．

解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1) =(x3?1)(x3?1) =x6?1．

例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值． 解： a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8．

练习 1．填空：

121211

； a?b?(b?a)（ ）

9423

22

（2）(4m? )?16m?4m?( )；

2222

(3 ) (a?2b?c)?a?4b?c?( )．

（1）2．选择题：

1

mx?k是一个完全平方式，则k等于（） 2

1212122

（A）m（B）m（C）m （D）m

416322

（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值 （）

（1）若x?

2

（A）总是正数 （B）总是负数

（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一般地，形如a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如

3a?

2b，

等是无理式，而2?

x2??

y2

x?

1，2

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，

4

等等． 一般地，

b与

b互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运

?a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2

．二次根式

?a??

?a,a?

0,

??a,a?0.

例

1 将下列式子化为最简二次根式：

（

1 （2a?0)；

（3

x?0)． 解： （1?

（2

??a?0)；

（3?2x??2x

x?0)．

例2 (3． 解法一：

(33)

＝

3

9?31)

＝

61

＝．

2

1

3)解法二：

(3

＝．

2

例3

试比较下列各组数的大小：

（

1

（2和.

解： （1

）∵?

??， 1

1

1

，

10

又

?

∴

（2）∵?

?? 15

篇二：初高中数学衔接教材(共28页)

初高中数学衔接教材

引 入 乘法公式 第一讲 因式分解 第二讲 函数与方程

第三讲 三角形的“四心”

乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a2?b2；

（2）完全平方公式 (a?b)2?a2?2ab?2

．b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 (a?b)(a2?ab?2b)?3a?；3

b

（2）立方差公式 (a?b)(a2?ab?2b)?3a?；3

b

（3）三数和平方公式(a?b?c)2?a2?2

b?2c2?(ab?bc?；（4）两数和立方公式(a?b)3?a3?3a2b?3a2b?；3

b

（5）两数差立方公式(a?b)3?a3?3a2

b?3a2b?．b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

解法一：原式=(x2?1)??(x2?1)2?x2

??

=(x2?1)(x4?x2?1)

=x6?1．

解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1) =(x3?1)(x3?1) =x6?1．

例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值． 解： a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8． 练习

1．填空：

（1）

19a2?14b2?(11

2b?3

a)（ ）； （2）(4m? )2?16m2?4m?( )；

(3 ) (a?2b?c)2?a2?4b2?c2

?( )． 2．选择题：

（1）若x2

?

1

2

mx?k是一个完全平方式，则k等于（ （A）m2

（B）14m2（C）12123m （D）16m（2）不论a，b为何实数，a2?b2

?2a?4b?8的值 （ （A）总是正数 （B）总是负数

（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

第一讲 因式分解

c)a

）

）

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）x2?(a?b)xy?aby2；（4）xy?1?x?y． 说明：（2）x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．

（3） x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by) x －1 （4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1

y

1

图1．1－5

＝(x－1) (y+1) （如图1．1－5所示）． 课堂练习

一、填空题：

1、把下列各式分解因式：

（1）x2

?5x?6?__________________________________________________。

（2）x2??a?1?x?a?__________________________________________________。 （3）x2?11x?18?__________________________________________________。 （4）6x2

?7x?2?__________________________________________________。 （5）4m2?12m?9?__________________________________________________。 （6）5?7x?6x2

?__________________________________________________。 （7）12x2

?xy?6y2?__________________________________________________。 2、x2

?4x???x?3??x??

3、若x2

?ax?b??x?2??x?4?则a?，b?。 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）

1、若多项式x2

?3x?a可分解为?x?5??x?b?，则a、b的值是（ ）

A、a?10，b?2 B、a?10，b??2 C、a??10，b??2 D、a??10，b?22、若x2

?mx?10??x?a?? x?b?其中a、b为整数，则m的值为（ ）

A、3或9 B、?3 C、?9 D、?3或?9

2．提取公因式法

例2 分解因式：

（1） a2?b?5??a?5?b? （2）x3?9?3x2?3x 解： （1）．a2?b?5??a?5?b?=a(b?5)(a?1)

（2）x3?9?3x2?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3) =(x?3)(x2?3)．或

x3?9?3x2?3x＝(x3?3x2?3x?1)?8＝(x?1)3?8＝(x?1)3?23

＝[(x?1)?2][(x?1)2?(x?1)?2?22]＝(x?3)(x2?3)

3：公式法

例3 分解因式： （1）?a4?16 （2）?3x?2y?2

??x?y?2

解：(1)?a4?16=42?(a2)2?(4?a2)(4?a2)?(4?a2)(2?a)(2?a)

(2) ?3x?2y?2??x?y?2=(3x?2y?x?y)(3x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?3y) 课堂练习

222233

一、a?2ab?b，a?b，a?b的公因式是______________________________。 4．分组分解法

例4 （1）x2?xy?3y?3x（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6．

（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6=2x2?(y?4)x?y2?5y?6 =2x2?(y?4)x?(y?2)(y?3)=(2x?y?2)(x?y?3)．

或

2x2?xy?y2?4x?5y?6=(2x2?xy?y2)?(4x?5y)?6

=(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y?2)(x?y?3)．

第二讲 函数与方程

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝?

2

cb

，x1·x2＝．这一关系也被称为韦

aa

达定理．

例1 已知方程5x?kx?6?0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

例2已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．

22

∵x1＋x2－x1·x2＝21，

2

∴(x1＋x2)－3 x1·x2＝21，

即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21， 化简，得 m2－16m－17＝0，解得 m＝－1，或m＝17．

当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．

2

例3 若x1和x2分别是一元二次方程2x＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值；

11

（2）求2?2的值；

x1x2

（3）x13＋x23．

解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，

53

∴x1?x2??，x1x2??．

22

53

（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝(?)2?4?(?)

22

4925

＝＋6＝，

44

7

∴| x1－x2|＝．

2

52325(?)?2?(?)?3

x12?x22(x1?x2)2?2x1x21137? （2）2?2?22?． ??2

x1x2x1?x2(x1x2)9(?)224

3322 2

（3）x1＋x2＝(x1＋x2)( x1－x1x2＋x2)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2)－3x1x2]

552153

＝(－)×[(－)2－3×(?)]＝－．

2282

例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

解：设x1，x2是方程的两根，则

x1x2＝a－4＜0， ①且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②

由①得 a＜4，

17

由②得 a＜4．∴a的取值范围是a＜4．

练 习

1．选择题：若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）

（A）m＜2．填空:

（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则

1111

（B）m＞－ （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0 4444

11

?＝． x1x2

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ．

2．

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

例1 已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论． 解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；

（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2； （3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0； （4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．

2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的

例1 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

练 习

1．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a

(a≠0) ．

（2）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为

第三讲 三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图3.2-1 图3.2-2

如图3.2-1 ，在三角形△ABC中，有三条边AB,BC,CA，三个顶点A,B,C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）

图3.2-5

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）

图3.2-8

过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

篇三：初高中数学衔接教材(人教版)

初高中数学衔接教材 1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

?a,a?0,?

|a|??0,a?0,

??a,a?0.?

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 1．填空：

（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.

（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若?c?2，则c＝________. 2．选择题：

下列叙述正确的是（ ）

（A）若a?b，则a?b（B）若a?b，则a?b （C）若a?b，则a?b（D）若a?b，则a??b

2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a?b； （2）完全平方公式 (a?b)?a?2ab?b． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 (a?b)(a?ab?b)?a?b； （2）立方差公式 (a?b)(a?ab?b)?a?b；

（3）三数和平方公式(a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)； （4）两数和立方公式(a?b)?a?3ab?3ab?b； （5）两数差立方公式(a?b)?a?3ab?3ab?b． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

例1 计算：(x?1)(x?1)(x?x?1)(x?x?1)． （2）(a?2)(a?2)(a?4a?16)

222

例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a?b?c的值．

例3计算：（1）(4?m)(16?4m?m)

1．填空：

2

2

23

3

2

2

3

3

3

2

2

3

2

2

2

2

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

2

2

2

42

（2）(m?

151111

n)(m2?mn?n2) 225104

12121122

； （2）(4m? )?16m?4m?( )； a?b?(b?a)（ ）

9423

2222

（3）(a?2b?c)?a?4b?c?( )．

（1）2．选择题：

11212122

（A）m （B）m（C）m （D）m mx?k是一个完全平方式，则k等于（）

41623

22

（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值（）

（1）若x?

2

（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数

3．二次根式

a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例

2

如

3a?

2b

?

x?

1，x2??

y2 2

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例

，

一般地，

，

b与b互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公

式

?a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二

次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

?a,a?0,2

?a??

?a,a?0.?

例1

例2

(3?．．

例3 试比较下列各组数的大小：

（1

（2

例4

化简：?

2004

将下列式子化为最简二次根式：（1

（2

a?0)；（3

x?0)．

?2005．

例 5 化简：（1

；（2

例6 化简下列各式：

(1)

例 7

已知x? ．

?x?1)． ?

(2)

x?1)

22

y?3x?5xy?3y的值 ．

1．填空：（1

＝__ ___；（2

?(x?x的取值范围是；

?，

2?____；（3

）（4）

若x?

４．分式

1．分式的意义 形如

AAA

的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： BBB

AA?MAA?M

； ． 上述性质被称为分式的基本性质． ??

BB?MBB?M

例1 若

5x?4AB

，求常数A,B的值． ??

x(x?2)xx?2

111111

（其中n是正整数）；（2）计算：； ??????

n(n?1)nn?11?22?39?10

1111

（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有?????．

2?33?4n(n?1)2

例2 （1）试证：

例3 设e?

c

，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值． a

111

)； ??

n(n?2)nn?2

2x?y2x546

2．选择题：若?，则＝ （） （A）１（B） （C） （D）

x?y3y455

1．填空题：对任意的正整数n，

5、分解因式

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等

变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．

十字相乘法（借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．）

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

1．x?(p?q)x?pq型的因式分解。这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

2

x2?(p?q)x?pq?x2?px?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q)

因此，x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例1】把下列各式因式分解：

(1) x?7x?6

22

(2) x?13x?36

2

【例2】把下列各式因式分解：

(1) x?5x?24

2

(2) x?2x?15

2

【例３】把下列各式因式分解：

(1) x?xy?6y

2

2

(2) (x?x)?8(x?x)?12

222

2．一般二次三项式ax?bx?c型的因式分解

【例４】把下列各式因式分解：

2．提取公因式法与分组分解法 例５ 分解因式：

（1）x?9?3x?3x；（2）2x?xy?y?4x?5y?6．

1．选择题：多项式2x?xy?15y的一个因式为（）

（A）2x?5y （B）x?3y （C）x?3y （D）x?5y 2．分解因式：

（1）x2＋6x＋8； （2）x?4xy?4y （3）（1）5x2－3x-2；

（4）4(x?y?1)?y(y?2x)． （5）x2＋4x－12； （6）x?(a?b)xy?aby；

2

2

2

2

2

2

2

(1) 12x?5x?2

2

(2) 5x?6xy?8y

22

3222

（7）xy?1?x?y． （8）8a3－b3； （9）3x2?5x?8

6、 一元二次方程----根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为

2

b2b2?4ac

)?(x?．① 2a4a2

因为a≠0，所以，4a2＞0．于是

2

（1）当b－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2

；

b

（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－；

2a

b2

（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x?)一定大于或等于零，因此，原方

2a

程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2

；

b

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－；

2a

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

22

（1）x－3x＋3＝0；（2）x－ax－1＝0；（3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．

7、一元二次方程----根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

2

如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝?

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 例：若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求x1 x2 ， x1＋x2，的值； （2）求x1?x2， | x1－x2| 的值； （3）求

2

2

bc，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理． aa

11

?的值 x12x22

?b设x1和x2分别是一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）

，则，x2?，

2a

2

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