量子力学期末考试题解答题
篇一：量子力学期末考试题解答题
1. 你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？)
答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。
2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？
答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率?0，当照射光频率???0时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率???0时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻?10?9s观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？
答：对于一般情况，如果?1和?2是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：??c1?1?c2?2（c1，c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态?1和?2的线性叠加态?时，粒子是既处于态?1，又处于态?2。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。
4. 什么是定态？定态有什么性质？
答：体系处于某个波函数??r，t????r?exp??iEt?所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。
5. 简述力学量与力学量算符的关系？
答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的?由经典表示式F?而得出的，即：（r,p）算符F中将p换为算符p
??）=F?表示力学量F，那么??F?r,p?r,-i?）。量子力学中的一个基本假定：如果算符FF（（
?的本征态?时，力学量F有确定值，这个值就是F?在?中的本征值。 当体系处于F
6.经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？
答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变；
7. 能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。
答：不一定，如果?1，?2对应的能量本征值相等，则??c1?1?c2?2还是能量的本征态，否则，如果?1，?2对应的能量本征值不相等，则??c1?1?c2?2不是能量的本征态
8.什么是表象？不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？
答：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。不同表象之间的变换是一种幺正变换。在不同表象中不变的量有：算符的本征值，矩阵的迹即矩阵对角元素的和。
9. 简述量子力学的五个基本假设。
答：（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件；（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示中的将动量p换为算符?i?得出。表示力学量的算符具有组成完全系的本征函数。（3）将体系的状态波函数?用
?的本征函数展开??算符F（Fm?????）??m?m，F??：???cm?m??c???d?，则在?态
m
2中测量力学量F得到结果为?m的几率为cm
2，得到结果在???d?范围内的几率是c?d?；（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程：i????，H?是体系的哈密顿算符。?H?t（5）在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。
10.波函数归一化的含义是什么？归一化随时间变化吗？ 答：粒子既不产生也不湮灭。根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以在整个空间中发现粒子是必然事件，概率论中认为必然事件的概率等于1。因而粒子在整个空间中出现的概率即2对整个空间的积分应该等于1.即??x,y,z,t?d??1式中积分表示对整2
个空间积分。这个条件我们称为归一化条件。满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。波函数一旦归一化，归一化常数将不随时间变化。
11.量子化是不是量子力学特有的效应？经典物理中是否有量子化现象？
答： 所谓量子化，就是指某个力学量可取数值具有离散谱。一般来说，这不是量子力学的特有效应。经典物理中，例如声音中的泛音，无线电中的谐波都是频率具有离散谱。经典波在束缚态形成驻波时，频率也是量子化的，但经典波的频率量子化并不对应能量量子化。有时量子化用了专指能量量子化，在这种意义上它就是量子力学特有的效应。
12.什么是算符的本征值和本征函数？它们有什么物理意义？
?的方程F??答：含有算符Fm?的本质方程，F为F?的一个本质值。?而?m则为F?Fm?m称为Fm
的属于本征值Fm的本征函数。 如果算符多代表一个力学量，上述概念的物理意义如下：当体
?的本征态?时，测量F的数值时确定的，恒等于F。当体系处于任意态时，单次测系处于Fmm
量F的值必等于它的本征值之一。
13.算符运算与一般代数运算有什么异同之处？
答：（1）相同点:都满足加法运算中的加法交换律和加法结合律。（2）不同点：a.算符乘积一
??；b.算符乘积定义FGE???GF???般不满足代数乘法运算的交换律，即FG
运算次序由后至前，不能随意变换。 ???E??G????，???F??
14.什么是束缚态和定态？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？
答：定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场恒定?U?0，则体系可以处于?t
定态。当粒子被外力（势场）束缚于特定的空间区域内，及在无穷处波函数等于零的态叫做束缚态。束缚态是离散的。例如一维谐振子就属于束缚定态，具有量子化能级。但束缚态不一定是定态。例如限制在一维箱子中的粒子，最一般的可能态是以一系列分立的定态叠加而成的波包。这种叠加是没有确定值的非定态。虽然一般情况下定态多属束缚态，当定态也可能有非束缚态。
15.（1）在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？（2）将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？（3）归一化波函数是否可以含有任意相因子e（?是实常数）？（4）已知F为一个算符，当F满足如下的两式时，a. F?F,b. F?F,问何为厄米算符，何为幺正算符？（5）证明厄米算符的本征值为实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄米算符？
答：（1）不能；因为在量子力学中，粒子具有波粒二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。（2）不改变；根据Born对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函数在空间各点的相对强度。（3）可以；因为
2i???1?ei??1，如果2对整个空间积分等于1，则ei??对整个空间积分也等于1.即用任意相因子ei?（?是实常数）去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的归一化。（4）满足关系式a的为厄密算符，满足关系式b的为幺正算符；（5）证明：以?表示F的本征值，?表示所属的2
??本征函数，则F
即?为实数。 ????于是有????dx?????dx，由此可得???，???因为F是厄密算符，
16.薛定谔方程应该满足哪些条件？
答：（1）它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程；（2）方程是线性的，即如果?1和
?2都是方程的姐，那么?1和?2的线性叠加??c1?1?c2?2也是方程的解，这是因为根据态叠加原理，如果?1和?2是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：??c1?1?c2?2（c1，c2是复数）也是这个体系的一个可能状态；（3）这个方程的系数不应该包含状态的参量，如动量、能量等，因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被各种的状态所满足。
17. 量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？
答：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。因为所有力学量的数值都是实数，既然表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，它的本征值必须是实数。力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。
18.简述力学量算符的性质？
答：（1）实数性：厄密算符的本征值和平均值皆为实数；（2）正交性：属于不同本征值的本征态彼此正交。即???m?nd???mn；（3）完备性：力学量算符的本征态的全体构成一完备集，即??x???cn?n?x?。
n
19.在什么情况下两个算符相互对易？
?有一组共同本征函数?，而且?组成完全系，则算符F?对易。?和G?和G答：如果两个算符F mm
20.请写出测不准关系?
?，则测不准关系式为：?F???ik?的对易关系为：?F?，G?和G?答：设算符F??????2??G2
?的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数。 ?和G如果k不为零，则F2?，421.量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同，并举例说明？
答：量子力学中不显含时间，且其算符与体系的哈密顿算符对易的力学量称为守恒量；量子体系的守恒量，无论在什么态下，平均值和概率分布都不随时间改变；量子力学中的守恒量与经典力学中的守恒量概念不相同，实质上是不确定度关系的反映。a.量子体系的守恒量并不一定取确定值，及体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。如对于自由粒子，动量是守恒量，但自由粒子的状态并不一定是动量的本征态（平面波），在一般情况下是一个波包；b.量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，l的三个分量都守恒，但由于lx、ly、lz不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量l?0的态除外）。
22.定态微扰理论的适用范围和适用条件是什么？
答：适用范围：求分立能级及所属波函数的修正；适用条件是：
?Hnm
(0)(0)?m??n(0)(0)。 1，式中?m??n
23.什么是自发跃迁？什么是受激跃迁？
答：在不受外界影响的情况下，体系由高能级跃迁到低能级，这种跃迁称为自发跃迁；体系在外界（如辐射场）作用下，由低能级跃迁到高能级，这种跃迁称为受激跃迁。
24.什么是严格禁戒跃迁？角量子数和磁量子数的选择定则是什么？
答：如果在任何级近似中跃迁几率均为零，这这种跃迁称为严格禁戒跃迁。角量子数和磁量子数
；?m?0，?1。 的选择定则是：?l??1
25. 谁提出了电子自旋的假设？表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？
答：乌伦贝克和高斯密特提出了电子自旋的假设。他们主要根据的两个实验事实是：碱金属光谱
?，它的双线结构和反常的Zeeman效应。他们假设的主要内容为：a.每个电子具有自旋角动量S
在空间任何方向上的投影只能是两个数值：sz??
的自旋角动量S的关系式是：MS??1；b.每个电子具有自旋磁矩MS，它和它2e
?S，式中?e是电子的电荷，?是电子的质量。
表明电子有自旋的实验事实：斯特恩-盖拉赫实验。其现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。解释：氢原
子具有磁矩，设沿Z方向：；如在空间可取任
是空间量子化何方向，
应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明
的，只有两个取向
固有磁矩，即自旋磁矩。 ，对S 态 , ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子
自旋的特点：（1）电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。（2）电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为
，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。（3）电子自旋值是
， 而
，
而不是的整数倍。（4
）两者在差一倍。自旋角动量也具有其它角动量的共性，
。 即满足同样的对易关系：
① 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示；
② 它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也就是说，当?0时，自旋效应消失。 ③ 它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影只
取?2两个值。
篇二：2014年量子力学期末考试习题
2014年量子力学期末考试习题
（一） 单项选择题 1. A, 2.B, 3.C, 4.D, 5.A, 6.B, 7.A, 8.B, 9.C, 10.A, 11.B, 12.D, 13.C, 14.D, 15.D, 16.C, 17.C, 18.A, 19.D, 20.C, 21.C, 22.D, 23.C, 24.C, 25.C, 26.C, 27.D, 28.C, 29.A, 30.A, 31.A, 32 A, 33.C, 34. B, 35.A, 36.C, 37.D, 38.D, 39.D, 40.C, 41.D, 42.A, 43.B, 44.B, 45.C, 46.C, 47.C, 48.D, 49.A, 50.C, 51.A, 52.A, 53.A, 54.D, 55.B, 56.A, 57.B, 58.A, 59.C, 60.B, 61.D, 62.C, 63.A, 64.A, 65.A, 66.B, 67.D, 68.B, 69.A, 70.B, 71.B, 72.D, 73.D, 74.C, 75.B, 76.A, 77.B, 78.C, 79.C, 80.B, 81.C, 82.D, 83.A, 84.C, 85.D, 86.A, 87.C, 88.A, 89.B, 90.B, 91.B, 92.A, 93.B, 94.C, 95.A, 96.D, 97.B, 98.A, 99.A, 100.A, 101.B, 102.B, 103.A, 104.D, 105.B, 106.A, 107.B, 108.C, 109.A, 110.A, 111.A, 112.A, 113.B, 114.B, 115.B, 116.B, 117.B, 118.D, 119.A, 120.C, 121.B, 122.C, 123.A, 124.B, 125.D, 126.D, 127.D, 128.B, 129.D, 130.C, 131.C, 132.B, 133.C, 134.D, 135.D, 136.D, 137.D, 138.D, 139.C, 140.C, 141.C, 142.B, 143.A, 144.C, 145.A (一) 单项选择题
1.能量为100ev的自由电子的De Broglie 波长是 C. 光具有粒子性.D. 电子具有粒子性.
0000
?0,0?x?a A. 1.2A. B. 1.5A. C. 2.1A. D. 2.5A. 11.粒子在一维无限深势阱U(x)??
2. 能量为0.1ev的自由中子的De Broglie 波长是 ??,x?0,x?a
0000
?x
A.1.3A.B. 0.9A. C. 0.5A. D. 1.8A. 中运动，设粒子的状态由?(x)?Csin 描写，
a3. 能量为0.1ev，质量为1g的质点的De Broglie
其归一化常数C为 波长是
A.1.4A. B.1.9?10C.1.17?10
?12
?12
A.
A.D. 2.0A.
00
3
kBT(kB 为2
Boltzeman常数)的氦原子的De Broglie 波长是
4.温度T=1k时，具有动能E?
A.8A.B. 5.6A.C. 10A. D. 12.6A.
5.用Bohr-Sommerfeld的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n?0,1,2,?）
1
A.En?n??. B.En?(n?)??.
2
C.En?(n?1)??.D.En?2n??.
6.在0k附近，钠的价电子的能量为3ev，其De Broglie波长是
A.5.2A.B. 7.1A. C. 8.4A. D. 9.4A. 7.钾的脱出功是2ev，当波长为3500A的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. 0.25?10?18J.B. 1.25?10?18J. C. 0.25?10?16J. D. 1.25?10?16J.
8.当氢原子放出一个具有频率?的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为
?2?2??
A.. B. .C.. D. . 2?c2?c22?c2?c2
9.Compton 效应证实了
A.电子具有波动性. B. 光具有波动性. C.光具有粒子性. D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性.
1124
. B.. C..D..
2aaaa
12. 设?(x)??(x)，在x?x?dx范围内找到粒子的几率为
A.?(x). B.?(x)dx. C.?2(x). D.?2(x)dx. 13. 设粒子的波函数为 ?(x,y,z)，在x?x?dx范围内找到粒子的几率为 A.
A.(x,y,z)dxdydz. B.(x,y,z)dx. C.(??(x,y,z)dydz)dx. D.?dx?dy?dz(x,yz). 14.设?1(x)和?2(x)分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c1?1(x)?c2?2(x)的几率分布为 A.c1?1?c2?2.
*
B. c1?1?c2?2+c1c2?1?2.
2
22
2
22
22
22
C. c1?1?c2?2+2c1c2?1*?2.
D. c1?1?c2?2+c1*c2?1*?2?c1c2*?1?2*. 15.波函数应满足的标准条件是
A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性. C.连续、有限、完全性. D.单值、连续、有限. 16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是
A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成
的疏密波.
B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包. C.单个微观粒子具有波动性和粒子性. D. A, B, C.
2
2
17.已知波函数
?ii1?u(x)exp(??Et)?u(x)exp(?
Et),
?ii2?u1(x)exp(??E1t)?u2(x)exp(?E2t),
?(x)exp(?ii
3?u1?Et)?u2(x)exp(??Et),
?uii
4?1(x)exp(??E1t)?u2(x)exp(??
E2t).
其中定态波函数是
A.?2. B.?1和?2. C.?3. D.?3和?4. 18.若波函数?(x,t)归一化，则
A.?(x,t)exp(i?)和?(x,t)exp(?i?)都是归一化
的波函数.
B.?(x,t)exp(i?)是归一化的波函数，而
?(x,t)exp(?i?)不是归一化的波函数.
C.?(x,t)exp(i?)不是归一化的波函数，而
?(x,t)exp(?i?)是归一化的波函数.
D.?(x,t)exp(i?)和?(x,t)exp(?i?)都不是归一
化的波函数.(其中?,?为任意实数) 19.波函数?1、?2?c?1(c为任意常数)，A.?1与?2?c?1描写粒子的状态不同.
B.?1与?2?c?1所描写的粒子在空间各点出
现的几率的比是1: c.
C.?1与?2?c?1所描写的粒子在空间各点出
现的几率的比是1:c2
.
D.?1与?2?c?1描写粒子的状态相同.
20.波函数?(x,t)?12??
?c(p,t)expi
?px)dp的傅里叶变换式是
A. c(p,t)?1???(x,t)exp(i
?px)dx.B. c(p,t)?1???*
(x,t)exp(i?px)dx.C. c(p,t)?1???(x,t)exp(?i
?px)dx.D. c(p,t)?1?
??*
(x,t)exp(?i?px)dx. 21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件: (1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是
A. (1)、(3)和(6). B. (2)、(3)、(4)和(5). C. (1)、(3)、(4)和(5). D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6). 22.两个粒子的薛定谔方程是
A.i???t?(r??2
?22??
1,r2,t)???i?(r1,r2,t)
i? ?U(r????12?1,r2,t)?(r1,r2,t)
B.???t?(r??2
?22??
1,r2,t)???i?(r1,r2,t)
i?12?
?U(r????1,r2,t)?(r1,r2,t)
C. ???t?(r??2
?2 2
(r??1,r2,t)???i?1,r2,t)
i?12?i
?U(r??r??1,r2,t)?(1,r2,t)
D.i???t?(r??2
?22
(r??1,r2,t)???i?1,r2,t)
i?12? ?U(r??,t)?(r??
i
1,r21,r2,t)
23.几率流密度矢量的表达式为
A.J???
2?(?*??????*).B.J??i?
2?(?*??????*).C.J??i?
2?(???*??*??).D.J???
2?
(???*??*??). 24.质量流密度矢量的表达式为
A.J???
2(?*??????*).
B.J??i?
2(?*??????*).
C.J??i?
2(???*??*??).
D.J???
2
(???*??*??).
25. 电流密度矢量的表达式为
A.J??q?
2?(?*??????*).B.J??iq?2?(?*
??????*).C.J??iq?
2?(???*??*??). D.J??q?
2?
(???*??*??). 26.下列哪种论述不是定态的特点
A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变
化.
B.几率流密度矢量不随时间变化.
C.任何力学量的平均值都不随时间变化.
D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能
量.
27.在一维无限深势阱U(x)???0,x?2a
?
?,x?2a中运动
的质量为?的粒子的能级为
A.?2?2n2?2?2n2?2?2n2?2?2n2
4?a2,B.8?a2,C.16?a2, D.32?a
2
. 28. 在一维无限深势阱U(x)???0,x?a
?a
中运动的
??,x质量为?的粒子的能级为
A.?2?2n2
?2?2n2?2?2n2?2?2n22?a2, B.4?a2, C.8?a2, D.16?a
2
. 29. 在一维无限深势阱U(x)???0,x?b/2
,x?b/2
中运动
??的质量为?的粒子的能级为
A.?2?2n2
?2?2n2?2?2n2?2?2n22?b2,B.?b2, C.4?b2, D.8?b2
.
30. 在一维无限深势阱U(x)???0,x?a
?
?,x?a中运动的
质量为?的粒子处于基态，其位置几率分布最大
处是
A.x?0, B.x?a,C.x??a,D.x?a2.
31. 在一维无限深势阱U(x)???0,x?a
?,x?a
中运动的
?质量为?的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是
A.x??a/2, B.x??a, C.x?0, D.x??a/4. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的A.能量是量子化的，而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.
D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为
A.(n?1/2)??,(n?12,,3,...). B.(n?1)??,(n?012
,,,....).C.(n?1/2)??,(n?012,,,...). D.(n?1)??,(n?12
,,3,...). 34.线性谐振子的第一激发态的波函数为
?(x)?N?1
1exp(2
?2x2)2?x,其位置几率分布最
大处为
A.x?0. B.x??
?
??
. C.x?
?
.
D.x??
?
??
. 35.线性谐振子的
A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.
D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是
A.[??2d22?dx2
?1222
2??x]??E?.B.[??2d22?dx2
?12??2x2
]??E?.C.[?2d212?dx2
?2
??2x2]???E?. D.[?2d22?dx2?12?2?2x2]???E?. 37.氢原子的能级为
A.??2e2224s?es?e?e4s2?n2.B.?s
2?2n2.C.?2?n
2
. D. ?2?2n2. 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为
A.R2 B.R2
nl(r)r. nl(r)r2.
C.R22
nl(r)rdr. D.Rnl(r)r2dr.
39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为
A.Ylm(?,?). B. 2
lm(?,?).C. Y2
lm(?,?)d?. D. Ylm(?,?)d?.
40.波函数?和?是平方可积函数,则力学量算符F
?为厄密算符的定义是 A.??*F??d????*F??*d?. B.??*F??d???(F??)*?d?. C.?(F??)*?d????*F??d?. D.?F?*?*?d???
?F??*d?. 41. F
?和G?是厄密算符,则 A.FG
??必为厄密算符. B.FG???GF??必为厄密算符. C.i(FG
???GF??)必为厄密算符. D. i(FG
???GF??)必为厄密算符. 42.已知算符x??x和p
??
x??i??x
,则 A.x?和p?x都是厄密算符. B.xp??x必是厄密算符.C.xp??x?p?xx?必是厄密算符. D.xp??x?p?xx?必是厄密算符.
43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为
A.1.B. 2. C. 3.D. 4.
44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到?函数)
A.1/(2??)1/2.B.1/(2??). C.1/(2??)3/2.D.1/(2??)2
45.角动量Z分量的归一化本征函数为
A.12?exp(im?). B. 1
??2exp(ik?r).
C.12exp(im?).D. 1
??2??
exp(ik?r).
46.波函数Ymlm(?,?)?(?1)mNlmPl(cos?)exp(im?)
A. 是L
?2的本征函数,不是L?z
的本征函数. B. 不是L?2的本征函数,是L?z的本征函数. C. 是L
?2、L?z
的共同本征函数. D. 即不是L?2的本征函数,也不是L?z
的本征函数. 47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为
A. 3.B. 6.C. 9.D. 12. 48.氢原子能级的特点是
A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大. B.能级的绝对值随量子数的增大而增大. C.能级随量子数的增大而减小.
D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小. 49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为n2,这种性质是
A. 库仑场特有的. B.中心力场特有的. C.奏力场特有的.D.普遍具有的.
50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为
W)dr?R22
32(r32rdr,则其几率分布最大处对应于Bohr原子模型中的圆轨道半径是 A.a0. B. 4a0. C. 9a0. D. 16a0.
51.设体系处于??12R3
31Y10?2
R21Y1?1状态,则该
体系的能量取值及取值几率分别为
A.EE1313
3,2;4,4.B.E3,E2;2,?2
.
C.EE13
313,2;2,2
. D.E3,E2;4,4.
52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为
A.2?,1 . B.?,1. C.2?2,1. D.2?2,1. 53. 接51题,该体系的角动量Z分量的取值及相应几率分别为
A.0,??;14,34
.B. 0,?;13
4,4.
C.0,?;112,?2.D. 0,??;2,?2
.
54. 接51题,该体系的角动量Z分量的平均值为
A.11334? . B. ?4?. C. 4?. D. ?4?.
55. 接51题,该体系的能量的平均值为
A.??e4444
s18?2.B.?31?es288?2.C.?29?es17?es
256?2. D.?72?2
. 56.体系处于??Ccoskx状态,则体系的动量取值为
A.?k,??k. B. ?k. C. ??k. D. 1
2
?k.
57.接上题,体系的动量取值几率分别为
A. 1,0. B. 1/2,1/2. C. 1/4,3/4/ . D. 1/3,2/3. 58.接56题, 体系的动量平均值为
A.0. B. ?k. C. ??k. D. 1
2
?k.
59.一振子处于??c1?1?c3?3态中,则该振子能量取值分别为
A.32??,52??. B. 15
2??,2??.
C. 3715
2??,2??. D. 2??,2
??.
60.接上题,该振子的能量取值E1,E3的几率分别为
2
A.c22
c1
c2
3
1,c3. B. c2
?c2
,
1c2
2
.
3
1?c3
C.
c1
c2
2
,
c3
2
2
. D. c1,c3.
1?c3c1?c3
61.接59题,该振子的能量平均值为 2
2
A. 13c1?5c32c2
??. B. 5??. 1?c2
3
C.
9
13c2
2
1?7c2??. D. 3
2c22
??.
1?c3
62.对易关系[p?x,f(x)]等于(f(x)为x的任意函数)
A.i?f'(x).B.i?f(x).C.?i?f'(x). D.?i?f(x).
63. 对易关系[p
?y,exp(iy)]等于A.?exp(iy).B. i?exp(iy).
C.??exp(iy). D.?i?exp(iy).
64.对易关系[x,p
?x]等于A.i?. B. ?i?. C. ? . D. ??.
65. 对易关系[Lx,y
?]等于A.i?z
?. B.?z?. C.?i?z?. D.??z?. 66. 对易关系[Ly,z
?]等于A.?i?x
?. B. i?x?. C.?x?. D.??x?. 67. 对易关系[Lz,z
?]等于A.i?x
?. B. i?y?. C. i? . D. 0. 68. 对易关系[x,p
?y]等于A.?. B. 0. C. i? . D. ??.
69. 对易关系[p
?y,p?z]等于A.0. B. i?x?. C. i?p?x. D. ?p?x. 70. 对易关系[L
?x
,L?z
]等于A.i?L?y. B. ?i?L?y. C. ?L?y. D. ??L?y
. 71. 对易关系[L
?z
,L?y
]等于A.i?L?x. B. ?i?L?x. C. ?L?x. D. ??L?x. 72. 对易关系[L
?2,L?x
]等于A.L?x. B. i?L?x. C. i?(L?z?L?y). D. 0. 73. 对易关系[L
?2,L?z
]等于A.L?z. B. i?L?z. C. i?(L?x?L?y
). D. 0. 74. 对易关系[Lx,p
?y]等于A.i?L?z. B. ?i?L?z
. C. i?p?z. D. ?i?p?z. 75. 对易关系[p?z,L?x
]等于A.?i?p
?y
. B. i?p?y
. C.?i?L?y. D. i?L?y
. 76. 对易关系[L?z
,p?y]等于A.?i?p?x. B. i??px. C. ?i?L?x. D. i?L?x
. 77.对易式[L?y,x?]等于
A.0. B. ?i?z?. C. i?z?. D. 1. 78. 对易式[F
?m,F?n]等于(m,n为任意正整数) A.F
?m?n. B. F?m?n. C. 0. D. F?. 79.对易式[F
?,G?]等于 A.FG
??. B.GF??. C.FG???GF??. D.FG???GF??. 80. .对易式[F
?,c]等于(c为任意常数) A.cF
?. B. 0. C. c. D. F?. 81.算符F?和G?的对易关系为[F?,G?]?ik?,则F?、G?的测不准关系是
A.(?F?2)2
(?G?)2
?k4. B. (?F?)2(?G?)2?k24
.
2
2
C. (?F)2(?G)2?4. D. (?F)2(?G)2?4. 82.已知[x
?,p?x]?i?,则x?和p?x的测不准关系是A.(?x?)2
(?p?2
2
)2
(?p)2
x)??. B. (?x??2
4
.
C. (?x)2
(?p2
2
2
2
x)??. D. (?x?)(?p??2
x)?4
.
83. 算符L?x和L?y的对易关系为[L?x,L?y]?i?L?z
,则L
?x、L?y
的测不准关系是 2
2
A.(?L?2x)(?L?2?Lzy)?4.
22 B.(?Lx)2(?Ly
)2
??L4. C.(?F
2)2(?G)2??L2z4. D.(?F
)2(?G)2??2L24
. 84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是
A.[??22
2??2?zes
r
]??E?.
2
B. [??22zes
2???r2]??E?.
2
C.[??22??2?zes
r
]??E?.
2D.[??22??2?zes
r
2]??E?.
85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为
?z2e2 A.?s?2z2e4
s2n2?2. B. ?2?2n2
.?ze2s?z2e4
C.?s2n2?2.D. ?2?2n
2.
86. 在一维无限深势阱U(x)???0,0?x?a
,x?0,x?a
中
??运动的质量?为的粒子,其状态为
??4a
sin?axcos2?ax,则在此态中体系能量的
可测值为
?2?2 A.9?2?2
2?a2,
2?a2
, B. ?2?2?a2,2?2?2?a2 , C.3?2?23?2?2
5?2?24?2?22?a2,?a
2
, D.2?a2,?a2 . 87.接上题,能量可测值E1、E3出现的几率分别为A.1/4,3/4. B. 3/4,1/4. C.1/2, 1/2. D. 0,1. 88.接86题,能量的平均值为
A.5?2?22?22?a2, B.?2?a2, C.7?2?25?2?2
2?a2, D.?a2
.
篇三：量子力学期末考试部分试题及答案
量子力学期末试题及答案
一、填空题：
1、
2、 |Ψ（r,t）|^2的物理意义：
3、 一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为 4、 两个力学量对应的算符 二、简答题：
1、 简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。
答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、 一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？
答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。
3、 辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？
答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。
1
、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0、电荷均匀分布的小球，
计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对r?r0的区域有影响，对r?r0的区域无影响。据题意知
???U(r)?U(r) H0
其中U0(r)是不考虑这种效应的势能分布，即
r）?? U（0
ze
2
4??0r
U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在r?r0区域，
U(r)??
Ze
2
4??0r
在r?r0区域，U(r)可由下式得出， U(r)??e?Edr
r?
1Ze4Ze?3
???r?r, ( r ?r0)3?4??r24?r334??0r0?003
E??
? Ze2 ( r ? r0)?4??0r?
U(r)??e?Edr?e?Edr
r
r0
r0
?
??
Ze
2300
4??rZe
2
?
r0
r
rdr?
Ze4??
2
?
?
1r
2
r0
dr
Ze
2300
??
8??r
300
(r?r)?
20
2
Ze
2
4??0r0
??
8??r
(3r0?r)
22
(r?r0)
22
?ZeZe22
(3r0?r)? ( r ?r0)??3?? H?U(r)?U0(r)??8??0r04??0r
? 0( r ? r 0)?
????H? 由于r0很小，所以H
(0)
??
?
2
2?
Za0
r
??U0(r)，可视为一种微扰，由它引起
2
一级修正为（基态?
(0)100
?(
Z
330
?a
)
1/2
?
e
）
*
???(0)d? E1(1)???1(0)H1
?
?
Z
33
?a0
?
?
r0
[?
Ze
23
8??0r0
(3r?r)?
2
2
Ze
2
?
2Za0
r
4??0r
]e
4?rdr
2
2Za0
∵r??a0，故e
(1)1
r
?1。
∴ E
??
Ze
423
3
2??0a0r0
Ze
4
2
?
r0
(3rr?r)dr?
20
24
Ze
423
??0a0
r0
2
?
r0
rdr
??
2??0ar
3300
(r?
50
r0
5
5
)?
Ze
4230
2??0a
?
Ze
4230
10??0a2Zes5a
304
2
r0
2
?
第三题
r0
2
6.2 求自旋角动量在任意方向n(cos?,cos
的本征值和本征函数。
??S?cos?co??S?,cos?)的投影Snxy
?的矩阵元为 ? 表象，S解：在Snz
?????Sn?
2?1Sn?
1???0??cos???i0?2???i???1
??cos???00?2??0?
?cos??1??
其相应的久期方程：
即：
?2
2
cos?????
2?cos??icos?cos??icos??
???cos??
?2
cos???
?2
(cos??icos?)??2
2
?0
cos???
?
2
(cos??icos?)?
2
??
4
cos??
2
?
2
4
(cos??cos?)?0
2
2
2
2
??
2
4
?0
(利用cos??cos??cos??1)
???
?2
?的本征值为?所以Sn
?2
。
?a?
?b??， 设对应于Sn?2的本征函数的矩阵表示为?12(Sn)????
cos?cos??icos???a???a???
?a(cos??icos?)?bcos??b则 ??????? ?cos??icos???????cos?2???b?2?b?
?
1?cos?
a?22?**?
?1??1?1?(a,b)??a?b?b?由归一化条件得： ??2
cos??icos?2222
a?a?1a?1
1?cos?1?cos? 1?cos?
cos??icos?
b?a?取
，得 22(1?cos?)
?? ??
??1(Sn)??
?cos?icos?2
??b?
cos??icos?
?(Sn)?
11?cos??1?cos??icos?
??0???22(1?cos?)??1?cos?
2
?0?
??1????
?
?1?
2
cos??icos?2(1?cos?)
?2
?
?
12
同理可求得对应于Sn??
的本征函数为
??????
?1?cos??
2
??1(Sn)??2?cos??icos?
??
2(1?cos?)?
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