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《数学模型(第三版)》学习笔记

来源网站:百味书屋 2017-05-09 06:26:18
经典文章

篇一:数模牛人学习笔记

《数学模型(第三版)》学习笔记

写在开始

今天第一次归纳、复习,整理思路重点,从最后两章(除了“其他模型”)开始,想

可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距,自己也是

自学看书,非常希望各位提出宝贵意见,内容、学习方法经验上的都是.

整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展,总结起来有一下几个特点:

(一) “实际—>模型”的建模过程很关键,本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”,

但简化分析中,还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了;

(二) 模型求解之后的处理,许多地方似乎求解完毕可以结束,但却都未戛然而止,而是进

一步“结果分析”、“解释”,目的不一,要看进程而定,有的促进了模型的改进,有的对数

学结果做出了现实对应的解释(这一点建模过程中也经常做,就是做几步解释一下实际意

义),也还有纯数学分析的,这些都是很重要的,在我看来,这本书中的许多模型、论文似

乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始,前面的求解似乎是家常便饭了;

(三) 用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程,这本书读下来愈发觉得线性代数、

高等数学基础的重要性,同时书中也设计到了一些(虽是浅浅涉及)新的数学知识和技巧,

许多我在读的过程中只是试图了解这个思想,而推导过程未能花很多时间琢磨,但即便如此,

还是让我的数学知识有了很大的拓展(作为工科专业学生)。

从上周六继续自学《数学模型》开始一周,比预期的时间长了许多,但是过程中我觉

得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多,所以两天前快看完时到现

在一直未能做个小结,从今天起每天做2章的小结,既是复习总结重点,也是请诸位同学指

教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。

也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~

(目前已更新:全12章)

第1章 建立数学模型

关键词:数学模型 意义 特点

第1章是引入的一章,对数学模型的意义来源,做了很好的解释。其实数学模型也是模

型的一种,是我们用来研究问题、做实验的工具之一,只不过它比较“理论”、“摸不着”而

已。但通常,数学模型有严谨的特点,而且我们可以根据建模实际需要改变模型,成本也比

较低;同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。9 n( D6 Y4 K6 D8 P! d: D

椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子,用简单的

数学进行描述、建模分析,给数学模型一个最好的诠释:用数学语言描述事物、现象——往

往增添了说服力。

第2章 初等模型

关键词:初等数学 简化技巧 思想

这一章顾名思义,是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型,虽然数学知识比较易

懂,但是其中的巧妙思想确实十分重要的。

如何把问题做恰当的简化,到简单的数学工具能够表示、求解的程度,本章做出了很好

的例子,同时分析也很精彩。

2.1节公平席位分配,通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。有意思的是,在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时,根据所提出的4个(毋庸置疑的)公理,得出的结论却是:不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。 这给我们什么启示呢?有些问题和工作,比如公平席位的分配,日常中是一定要做的,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时,我们还有分配的意义吗?答案不一;在这个例子中,固然是有意义的,我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法,抑或,就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”,看能否通过删改公理来取得更公平方案。

录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析,这里每个例子中的分析,求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键,阐述现象。

2.7 实物交换——是后面经济学模型的雏形,无差别曲线的图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量的数据;核军备竞赛一节,也是一个动态的变化过程,基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线的形状、趋势,因此作图分析是很好的方法,图中可以给我们很多信息(交点,截距,极限值??),而这些信息都一一对应着它们的实际意义;有些即使没有明显的含义,但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。

2.10 量纲分析与无量纲化——是另一种重要的求解方法,大致来说思想就是:仅知道变量之间的制约关系(正/负相关),系数、阶数均未知,即只能得出表达式的“形式”,要我们通过“量纲齐次性”(等式两端必须保持量纲的一致)来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。 关键:恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数的个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。

第2章小结:

本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”,10节涉及了不同类型的问题、数学方法,很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。

第3章 简单的优化模型

关键词:简单优化 微分法 建模思想

本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题,可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。在第3章中,主要是几个简单的优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒,但是还是那句——建模,求解之后结果分析、结果解释的思想,是我们要学习和引入脑中的。

3.1 存贮模型

分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q(t)作图,观察规律,对结果解释。

3.2 生猪出售时机

关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。

3.3 森林救火

亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设,以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说,就是一个好的对实际问题的简化。

3.4 最优价格

主要是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等

于编辑支持时达到。

3.5 血管分支!

是很有趣的一节,用数学模型研究生理问题,我们还是只关注建模、数学的层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力的假设代之。

3.6 消费者的选择

一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数。

3.7 冰山运输

也是很有趣的问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式,二是假设冰山为球形,简化了融化规律等的计算。! F6 n#

第4章 数学规划模型

关键词:数学规划方法 lingo/lindo软件 结果深入分析 变量个数

约束条件、可行域、目标函数,构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质,和它与传统优化数学问题的区别:常理优化模型属于函数极值问题的范畴,但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得的问题,因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。

这一章内容不少,但都是一类问题,主要点有几个:

1. lingo、lindo求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;

2. 一些细节之处:把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如p102的式(19);

3. 多目标规划的处理,p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标,从而化为单目标规划;

4. 同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束——我们要学习这种further discussion的精神,发现这个结果“恰与?相同?”之类的,不妨多问自己一句:“这是偶然的吗?”然后继续分析,得出一般的结论,这样往往能看到更多的风景,得出的结论更有含金量/启发性,而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课策略。

5. 减少变量个数,简化模型、式子(简化起见,同时lingo对变量个数有限制),p115销售的例子。

6. 求最优解时,为了减少搜索范围,加快速度,可以先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至少优于它。

第5章 微分方程模型

关键词:动态模型 合理假设 分析预测 控制

这一章是非常经典的一章,对微分方程模型作了很好的诠释、介绍,每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态,当我们要 1)分析变化规律;2)预测;3)研究如何控制它的时候,就要建立相应的微分方程模型。

自然地,这样的模型功能非常强大,也具有一般性,也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程,有时就表示着一件事,这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。

5.1 传染病模型

本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例,模型分三部分层层递进:SI(只分

为易感染着、已感染者),SIS(已感染者可以被治愈,重新变为易感染者),SIR(治愈后具免疫力,即增加了“移出者”)。可以说从基础模型到一步步递进,是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑,而其中的分析十分重要,也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法,是很有力的工具,后面多次用到,这一节有很详细的介绍。

模型改进、建模目的性、方法三者配合,是本节亮点。

5.2 经济增长模型

通过建立产值与1)资金;2)劳动力之间的关系,来研究1)资金与劳动力的最佳分配,使效益最大;2)如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。

本模型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。

5.3 正规战与游击战

这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型,有传统正规战争、稍复杂的游击战,以及混合战。重点在于建模过程:如何描述战争双方的特性,如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。

5.4 药物在体内的分布与排除

本节建立了房室模型,研究血药浓度的变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1)模型的假设:尽管是简化,但由临床试验证明是正确的,可以接受;2)对参数的估计。

先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数。

5.5 香烟过滤嘴的作用

看起来不易下手的一个问题,用恰当的假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。0 y: a2 n8 u; \: I4 _- v

5.6 人口的预测和控制

本节模型与之前的区别在于:考虑年龄的分布,即除了时间外,年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中,系数、因子的实际含义要解释。

5.7 烟雾的扩散与消失

这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,而且该指标本身是客观存在的,并非虚构,这样更加有说服力。

5.8 万有引力定律的发现

十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律,是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的,这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们:正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题的能力。

第6章 稳定性模型

关键词:稳定性理论 建而不解 平衡状态 趋势 相轨线

本章是建立在上一章的基础上,在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念,那就是——对于某些问题,我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态,而是研究稳定状态的特征,特别是时间充分长以后的状态/趋势,从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程(组),即“建而不解”;而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。

*6.6 微分方程稳定性理论简介

这一节应为优先阅读的一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂(对于未接触过的同学),重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一

步理解。

6.1 捕鱼业的持续收获

研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题,如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了,但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论,如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。

6.2 军备竞赛

这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说,军备竞赛因素很多,无法圆满描述,只是想告诉我们:一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度,得到的结果又怎样解释实际现象。

6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 食饵-捕食者模型

这三节作为一个系列,用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中,相轨线分析法再次成为主角,它的意义在于:从图中曲线上直观地看出发展趋势,且特殊点对应的意义作出解释。

第7章 差分方程模型

关键词:差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混沌

将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要看目的而定。离散的一个优势在于,便于计算机求解。

7.5 差分方程简介:介绍差分方程稳定性的知识,判别稳定的条件。本章要用到的知识。)

7.1 市场经济中的蛛网模型

先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”,给出趋于稳定的条件,再用差分方程建模,解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作的参考。 本节最后对结果的解释也非常值得学习:启示我们,一些数学结果如参数前后的变大/变小,可能意味着什么,我们不要轻易放过,而是要时刻不忘解释相对应的原因。

7.2 减肥计划——节食与运动!

这是一个很生活的问题,主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内(均以WTO颁布的体重指数BMI衡量)。

我认为这个模型的两点仍然在建模本身:及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化,用数学的语言可以表达,写出差分方程。其中p208的“基本方程”式(1)是整个模型的基石,有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到,式(1)其实是一个“建而不解”的方程。

但正如节末评注中所述,实际参数的设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。

7.3 差分形式的阻滞增长模型

此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时,用离散化的时间研究比较方便,本节是很好的参考。(按:本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只是想要每个时段的数量)

要注意的是:若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。推出p211的式(6)后,这个一阶分线性差分方程,也是“建而不解”,但注意:此处“不解”是指不需求通项公式,但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。

篇二:《数学模型》(第三版)课后答案二

一、若设在疾病传播期内所考察地区的总人口数为N,t时刻易感染者和已感染者两类人在总人口数中所占的比例分别为s(t)和i(t),每个病人每天有效接触的平均人数是常数?,试建立传染病模型中的SI模型。(15分) 解:由题意可知

?di

?N??isN

(4分) ?dt

??s(t)?i(t)?1

?

di

dt

??i(1?i) 令i(0)?i0

则有

di

dt??i(1?i),i(0)?i0 解得:

i?

1 1???1i?1??e??t

?0?

其关系式图(如图3、图4)

4分) 4分)

(3分) 图

3

4

((

?(t)?rxln二、设渔场鱼量的自然增长服从Gompertz模型x

N

,又单位时间捕捞量为x

h?Ex,讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量hm及获得最大产量的

*

捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0。(15分)

解:设时刻t渔场中鱼量为x?t?,由已知得: (1) 鱼量的自然增长服从Gompertz规律,即

??t??f(x)?rxln? x

?N?

? (2分) x??

其中r为固有增长率,N为环境容许的最大鱼量。 (2) 单位时间的捕捞量h?x?与渔场鱼量x?t?成正比,即

h?x??Ex,(其中比例系数E为单位时间捕捞率) (2分)

从而,在有捕捞的条件下,有以下的方程

?N?

?(t)?F(x)?f(x)?h(x)?rxln???Ex (2分) x

?x?

??t??0,即F?x??0,也即rxln?令x

解得两个平衡点

E

r

?N?

??Ex?0 ?x?

x0?Ne,x1?0

?

?F?(x0)??r?0,F?(x1)???0

所以x0点稳定,x1点不稳定。(2分) 由图4可知,当h(x)与f(x)在抛物线

*

图4

图: (4分)

*顶点P相交时可获得最大的持续产量,此时的稳定平衡点为x0

?

N e

且单位时间的最大持续产量和捕捞率为:

hm?

rN

,Em?r(3分) e

三、已知某渔场在无捕捞条件下,鱼量的自然增长服从Logistic规律,若在有捕捞的条件下,单位时间的捕捞量与渔场鱼量成正比,试建立捕鱼业的持续收获中的产量模型.(15分)

解:设时刻t渔场中鱼量为x?t?,由已知得: (3) 鱼量的增长服从Logistic规律,即

??t??f(x)?rx(1? x

x

)(2分) N

其中r为固有增长率,N为环境容许的最大鱼量。 (4) 单位时间的捕捞量h?x?与渔场鱼量x?t?成正比,即

h?x??Ex,(其中比例系数E为单位时间捕捞率) (2分)

从而,在有捕捞的条件下,有以下的方程

?(t)?F(x)?f(x)?h(x)?rx(1?x

x

)?Ex(2分) N

??t??0,即F?x??0,也即令xrx(1?

x

)?Ex?0 N

E

),x1?0 r

解得两个平衡点

x0?N(1?

图: (4分)

?F?(x0)?E?r,F?(x1)?r?E

所以若E?r,有F?(x0)?0,F?(x1)?0,

故x0点稳定,x1点不稳定;若E?r,则结果正好相反。 (2分)

由图2可知,当h(x)与f(x)在抛物线顶点P*相交时可获得最大的持续产量,此时的

*

稳定平衡点为x0?

N 2

且单位时间的最大持续产量和捕捞率为

hm?

rN*r,E? 42

即使渔场鱼量保持在最大鱼量N的一半时,能够获得最大的持续产量。 (3分)

四、求差分方程xk?2?5xk?1?14xk?28,x1?3,x2?5的解. (15分) 解:xk?2?5xk?1?14xk?28?0

令yk?2?xk?2?a,yk?1?xk?1?a,yk?xk?a(2分) 则有

yk?2?5yk?1?14yk?0 (1) 从而得

a?5a?14a??28?a?

14

9

由(1)式的特征方程

?2?5??14?0得?1=-2,?2=7

从而

ykk?c1?1?ck2?2?c1(?2)k?c27k?xk?ykk?a?c1(?2)?c27k?

14

9

把x1?3,x2?5代入(3)式得

???3?c11

14141(?2)?c27???2c1?7c2??

99

???

5?c1(?2)2?c272?149?4c1?49c2

?14

9解得

c1??

3827,c141

2?567

?xk??

3827(?2)k?1415677k?14

9

(或x??38141 k?114

k27(?2)k?817?9

)

(2)

3) (4分) (2分)3分) 4分) ( ((

篇三:数学模型笔记

第1章 建立数学模型

关键词:数学模型 意义 特点

第1章是引入的一章,对数学模型的意义来源,做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种,是我们用来研究问题、做实验的工具之一,只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常,数学模型有严谨的特点,而且我们可以根据建模实际需要改变模型,成本也比较低;同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。

椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子,用简单的数学进行描述、建模分析,给数学模型一个最好的诠释:用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。

第2章 初等模型

关键词:初等数学 简化技巧 思想

这一章顾名思义,是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型,虽然数学知识比较易懂,但是其中的巧妙思想确实十分重要的。

如何把问题做恰当的简化,到简单的数学工具能够表示、求解的程度,本章做出了很好的例子,同时分析也很精彩。

2.1节公平席位分配,通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。有意思的是,在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时,根据所提出的4个(毋庸置疑的)公理,得出的结论却是:不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。 这给我们什么启示呢?有些问题

和工作,比如公平席位的分配,日常中是一定要做的,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时,我们还有分配的意义吗?答案不一;在这个例子中,固然是有意义的,我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法,抑或,就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”,看能否通过删改公理来取得更公平方案。

录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析,这里每个例子中的分析,求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键,阐述现象。

2.7 实物交换——是后面经济学模型的雏形,无差别曲线的图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量的数据;核军备竞赛一节,也是一个动态的变化过程,基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线的形状、趋势,因此作图分析是很好的方法,图中可以给我们很多信息(交点,截距,极限值……),而这些信息都一一对应着它们的实际意义;有些即使没有明显的含义,但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。

2.10 量纲分析与无量纲化——是另一种重要的求解方法,大致来说思想就是:仅知道变量之间的制约关系(正/负相关),系数、阶数均未知,即只能得出表达式的“形式”,要我们通过“量纲齐次性”(等式两端必须保持量纲的一致)来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。 关键:恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数的个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。

第2章小结:

本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”,10节涉及了不同类型的问题、数学方法,很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。

第3章 简单的优化模型

关键词:简单优化 微分法 建模思想

本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题,可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。在第3章中,主要是几个简单的优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒,但是还是那句——建模,求解之后结果分析、结果解释的思想,是我们要学习和引入脑中的。

3.1 存贮模型

分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q(t)作图,观察规律,对结果解释。

3.2 生猪出售时机

关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。

3.3 森林救火

亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设,以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说,就是一个好的对实际问题的简化。

3.4 最优价格

主要是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。

3.5 血管分支

是很有趣的一节,用数学模型研究生理问题,我们还是只关注建模、数学的层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力的假设代之。

3.6 消费者的选择

一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U(q1,q1)。

3.7 冰山运输

也是很有趣的问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式,二是假设冰山为球形,简化了融化规律等的计算。

第4章 数学规划模型

关键词:数学规划方法 lingo/lindo软件 结果深入分析 变量个数

约束条件、可行域、目标函数,构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质,和它与传统优化数学问题的区别:常理优化模型属于函数极值问题的范畴,但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得的问题,因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方

法。

这一章内容不少,但都是一类问题,主要点有几个:

1. lingo、lindo求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;

2. 一些细节之处:把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如p102的式(19);

3. 多目标规划的处理,p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标,从而化为单目标规划;

4. 同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束——我们要学习这种further discussion的精神,发现这个结果“恰与…相同…”之类的,不妨多问自己一句:“这是偶然的吗?”然后继续分析,得出一般的结论,这样往往能看到更多的风景,得出的结论更有含金量/启发性,而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课策略。

5. 减少变量个数,简化模型、式子(简化起见,同时lingo对变量个数有限制),p115销售的例子。

6. 求最优解时,为了减少搜索范围,加快速度,可以先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至少优于它。

第5章 微分方程模型

关键词:动态模型 合理假设 分析预测 控制

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