数学通报2017-07期
篇一：圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用_4
圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生（上海市市北中学200071）
2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有MP?MQ. 证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t是Cy2?Ey?F?0的两个根，所以E?0.
若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立.
若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）, F（x4,k2x4），P
（
，
p
）
，
Q
（
，
q
）
，
,
kx?kx
CE:y?2311?(x?x1)?k1x
1
x3?x1
p?
xx(k?k2)k2x3?k1x1xx(k?k2)
,同理q?241, 所以?(0?x1)?k1x1?131
x4?x2x3?x1x3?x1
(k1?k2)[x3x4(x1?x2)?x1x2(x3?x4)]
(x4?x2)?(x3?x1)
2
p?q?
将y?k1x代入(*)得(A?Bk1?Ck1)x2?(D?Ek1)x?F?0,又E?0得x1?x2?
?DA?Bk1?Ck1
2
,
x1x2?
FA?Bk1?Ck1
2
, 同理 x3?x4?
F?D
,，所以p?q?0，即xx?3422
A?Bk2?Ck2A?Bk2?Ck2
MP?MQ.
注:2003年高考数学北京卷第18（III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形. 定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有MP?MQ.
证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y设圆锥曲线的方程为Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0(*)，设A（x1,y1），B（x1,y2），则切线MA的方程是
2
2
DEDE
x1?y1?F?0，切线MB的方程是x1?y2?F?0，得2222
E(y1?y2)?0，所以E?0.（下面与定理1的证明相同，略）
特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上.
x2y2
性质1：过点M（m，0）做椭圆、双曲线2?2?1的弦CD，EF是其焦点轴，则直线CE、DF的连线交点G
ab
a2
在直线l：x?上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线的交点时，l就是过焦点的直
m
线.
证明：如图3，过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则根据定理1，定理2得MP?MQ.
过G做GH垂直焦点轴所在直线于H，得
EMHE
?
MPHG
?
MQHG
?
FMFH
，设M（m，0），H（n，0），焦点轴长为
a?ma?m2
?2a，则有，得mn?a.
?a?na?n
注:性质1就是文[1]中的性质1，文[2]中的推
论2.
2. 性质2：过点M（m，0）做抛物线y?2px与抛物线的对称轴平行，则直线CE、DF的连线交点在直线l：x??m上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴的交点时，l就是过焦点的直线.
注:2001年全国高考数学卷第18题，就是性质2中M为焦点的情形.性质2
就是文[1]中的性质2，文[2]中的推论1.
2
CMDMa2?x?性质3：直线l：，过点M（m，0）做椭圆、交于点I，则. CIDIm证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得：
CMCI
?
MPIG
?
MQIG
?
DMDI
.
性质4：过点M（m，0）做椭圆、双曲线
x2y2
??1的弦CD、EF，a2b2
a2
则直线CE、DF的连线交点G在直线l：x?上.
m
证明：如图5，过G做GH垂直焦点轴所在的直
线，由定理1，定理2得：
CMCI
?
MPIG
?
MQIG
?
DMDI
，由性质3得，点I在
a2
直线l：x?上，所
m
a2
以点G在直线l：x?上.
m
类似性质3、性质4得到性质5、性质6.
性质5：直线l：x??m，过点M（m，0）做抛物线I，则
2
CMCI
?
DMDI
.
性质6：过点M（m，0）做抛物线y?2px的弦G在直线l：x??m上. 注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形，即取M为焦点时，直线CE、DF的连线交点G落在相应准线上.
x2y2
性质7：过点M（m，0）做椭圆、双曲线2?2?1的弦CD，则以C，D
aba2
在直线l：x?上.
m
证明：如图6，设切线CG交直线l于G1，连接G1D，若G1D与圆锥曲线有除D点外的公共点F，做直线FM交圆锥曲线于E，由性质4知CE与DF的交点在直线l上，所以C、E、G1三点共线，与CG1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G1D与圆锥曲线只有一个公共点D
，G1D是圆锥曲线的切线，G1与G重合， G在直线l上.
性质8：过点M（m，0）做抛物线y2?2px的弦CD，则以C，D
x??m上.
注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形，就是文[4]中的定理1.
a2x2y2
性质9：直线l：x?，过点M（m，0）做椭圆、双曲线??1的弦CD，C、D在l上的射影为C、D1，
m在焦点轴所在直线上的射影为C2、证明：如图
7，由CC1DD1
?
CMDM
?
CIDI
?
DD2CC2
,性质10：直线l：x??mD在l上的射影为C1、D1，C、
注:性质9、10即文[5]性质11：在圆锥曲线中，过弦CE与DF交于点G，过G做GI∥AB证明：如图8，直线CE与DF得：
MP?MQ, 所以
EMEI
?
MPIG
?
性质12：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交
于点M，过M任作两条弦
CD和EF，直线CE与DF交于点G，过G做GI∥AB，直线GI交FE于I，则
EMEI
?
FMFI
.
性质11，12可认为是性质1，2，3，5的推广，从性质11，12出发可以得到类似性质4，6，7，8，9，10的结论，限于篇幅，本文不再给出。
参考文献
1 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003，7
2 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申和推广.数学通报，2002，6 3 廖应春.圆锥曲线焦点弦的一个性质.数学通报，2003，4 4李笛淼.圆锥曲线的两个性质.数学通报，1999，2
5姜坤崇.姜男.圆锥曲线的一个有趣性质极其推论.数学通报，2003，7
篇二：2017年高考数学模拟文科试卷
衡阳八中2017届高三年级第二次质检试卷
文科数学（试题卷）
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次质检试卷，分两卷。其中共24题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷 选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.若集合M={x∈N|x＜6}，N={x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}，则 M∩N=（ ）
A．{3，4，5}
2.
已知 B．{x|2＜x＜6} C．{x|3≤x≤5} D．{2，3，4，5} =b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（ ）
C．2D．3 A．﹣1 B．1
3.要得到函数y=cos2x的图象，只需把函数y=sin2x的图象（ ）
A
．向左平移
C
．向左平移个长度单位 B
．向右平移个长度单位 D
．向右平移个长度单位 个长度单位
4.已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜b D．c＜b＜a
5.如图给出的计算1+++…+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）
A．i≤2014 B．i＞2014C．i≤2013D．i＞2013
6.已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张，则他们选
择同一张卡片的概率为（）
A． 1 B．111 C． D． 1642
11?的ab7.若直线2ax?by?2?0(a?0,b?0)被圆x2?y2?2x?4y?1?0截得的弦长为4，则
最小值是
A．11 B．－ C．－2 D．4 22
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当n＞1时，Sn=（ ）
A
．（）n﹣1B．2n﹣1 C
．（）n﹣1D
．
（﹣1）
9.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A
．B
． C．πD
．
10.
函数的图象大致为（ ）
A
． B．
C．D
．
11.设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）
12.已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值
为（ ）
A．3
第II卷 非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D，则△ABD为锐角三角形的概率为 ．
14.已知抛物线方程为y2=﹣4x，直线l的方程为2x+y﹣4=0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m+n的最小值为 ．
15.正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为这个球的表面积为 ． ，则 B．4 C．5 D．6 16.设x，y
满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为．
三.解答题（共8题，共70分）
17.（本题满分12分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=﹣7，S8=0．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足b1
=
，bnbn+1=2an，求数列{bn}的通项公式．
18.（本题满分12分）
某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：秒）如下：
（1）请完成样本数据的茎叶图（在答题卷中）；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）；
（2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率；
（3）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间?11,15?（单位：秒）之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．
19.（本题满分12分）
如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC
的中点，
（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．
．
篇三：上海市2017年长宁区高三数学二模试卷Doc2
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